题目

设两个相互独立的随机变量X和Y均服从、N(1,(1)/(5)) ，如果随机变量X-aY+2 满足条件 D(X-aY+2)=E[(X-aY+2)^2] ，则=_____ A. 3 B. 2 C. 0 D. 1

设两个相互独立的随机变量X和Y均服从、$N(1,\frac{1}{5})$ ，如果随机变量X-aY+2 满足条件 $D(X-aY+2)=E[(X-aY+2)^{2}]$ ，则=_____
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1

题目解答

答案

设 $Z = X - aY + 2$，则期望 $E(Z) = 3 - a$。由方差公式 $D(Z) = E[Z^2] - [E(Z)]^2$，结合条件 $D(Z) = E[Z^2]$，得： \[ [E(Z)]^2 = 0 \implies E(Z) = 0 \implies 3 - a = 0 \implies a = 3 \] 因此，答案为 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查方差与期望的关系，以及正态分布随机变量的线性组合性质。关键在于利用方差的定义式，结合题目条件建立方程求解参数。

解题思路：

引入随机变量：设 $Z = X - aY + 2$，利用方差公式 $D(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2$。
代入条件：题目给出 $D(Z) = E[Z^2]$，代入方差公式可得 $(E[Z])^2 = 0$，即 $E[Z] = 0$。
计算期望：根据 $X$ 和 $Y$ 的期望均为 $1$，求出 $E[Z]$ 并解方程。

破题关键：通过方差与期望的关系，将条件转化为关于 $a$ 的方程。

设 $Z = X - aY + 2$，根据方差定义：
$D(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2$
题目条件为 $D(Z) = E[Z^2]$，代入得：
$E[Z^2] - (E[Z])^2 = E[Z^2] \implies (E[Z])^2 = 0 \implies E[Z] = 0$

计算 $E[Z]$：
$E[Z] = E[X - aY + 2] = E[X] - aE[Y] + 2 = 1 - a \cdot 1 + 2 = 3 - a$
令 $E[Z] = 0$，解得：
$3 - a = 0 \implies a = 3$