题目
一人群中四种类型的比例为0.2,0.4,0.1,0.3，任意抽取一人，从中任意挑选10人，设第一种类型的人数为X，第二种类型的人数为Y，请问X+Y的分布为 A. X+Y sim B(10,0.6)B. X+Y sim B(10,0.2)C. X+Y sim B(20,0.6)D. X+Y sim B(20,0.2)
一人群中四种类型的比例为$0.2,0.4,0.1,0.3$，任意抽取一人，从中任意挑选10人，设第一种类型的人数为$X$，第二种类型的人数为$Y$，请问$X+Y$的分布为
- A. $X+Y \sim B(10,0.6)$
- B. $X+Y \sim B(10,0.2)$
- C. $X+Y \sim B(20,0.6)$
- D. $X+Y \sim B(20,0.2)$
题目解答
答案
为了确定 $X + Y$ 的分布，我们需要理解 $X$ 和 $Y$ 分别代表什么，以及它们的和遵循什么分布。
1. **确定 $X$ 和 $Y$ 的分布：**
- $X$ 是第一种类型的人数，第一种类型的比例为0.2。
- $Y$ 是第二种类型的人数，第二种类型的比例为0.4。
- 由于我们是从一个大人群中任意挑选10人，$X$ 和 $Y$ 都可以认为是二项随机变量。具体来说，$X \sim \text{B}(10, 0.2)$ 和 $Y \sim \text{B}(10, 0.4)$。
2. **确定 $X + Y$ 的分布：**
- $X + Y$ 代表前两种类型的人数总和。前两种类型的人的合并比例为 $0.2 + 0.4 = 0.6$。
- 因此，$X + Y$ 是一个二项随机变量，参数为 $n = 10$ 和 $p = 0.6$。也就是说，$X + Y \sim \text{B}(10, 0.6)$。
3. **结论：**
- $X + Y$ 的正确分布是 $\text{B}(10, 0.6)$。
因此，答案是 $\boxed{A}$。
解析
考查要点：本题主要考查二项分布的性质以及事件合并后的概率计算。关键在于理解如何将两种类型的人数合并为一个整体事件，并判断其分布参数。
解题核心思路：
- 明确X和Y的独立性：每个抽取的个体独立属于第一种或第二种类型，两种类型互斥。
- 合并事件：将“属于第一种或第二种类型”视为一个成功事件，概率为两者的比例之和。
- 参数确定：总试验次数仍为10次，成功概率为合并后的概率，直接得出二项分布参数。
破题关键点：
- 合并概率：$p = 0.2 + 0.4 = 0.6$。
- 试验次数不变：总抽取次数为10次，因此参数$n=10$。
-
分析X和Y的分布
- $X$表示第一种类型的人数，服从二项分布$B(10, 0.2)$。
- $Y$表示第二种类型的人数，服从二项分布$B(10, 0.4)$。
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合并X和Y的事件
- 每个被抽取的人属于第一种或第二种类型的概率为$0.2 + 0.4 = 0.6$。
- 因此，$X + Y$表示在10次独立试验中，“属于前两种类型”的总人数。
-
确定分布参数
- 试验次数$n = 10$，成功概率$p = 0.6$。
- 根据二项分布的定义，$X + Y \sim B(10, 0.6)$。