题目

设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自正态总体 X sim N(mu, sigma^2) 的一个样本，则下列各式中正确的是().A. ((overline(X)-mu)/(sigma))^2 sim chi^2(1);B. n((overline(X)-mu)/(sigma))^2 sim chi^2(1);C. ((overline(X)-mu)/(sigma))^2 sim t(1);D. t((overline(X)-mu)/(sigma))^2 sim t(1)

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，则下列各式中正确的是(). A. $\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$; B. $n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$; C. $\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim t(1)$; D. $t\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim t(1)$

题目解答

答案

我们来分析这道题。题目给出一个正态总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，并给出一个样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，然后让我们判断哪个选项是正确的。 --- ### 第一步：样本均值的分布样本均值定义为： $$ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $$ 因为 $ X_i \sim N(\mu, \sigma^2) $，所以样本均值服从正态分布： $$ \overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) $$ 标准化后： $$ \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1) $$ 也就是说，标准化后的样本均值服从标准正态分布。 --- ### 第二步：构造卡方分布如果我们对一个标准正态变量平方，那么它服从自由度为 1 的卡方分布： $$ Z \sim N(0, 1) \Rightarrow Z^2 \sim \chi^2(1) $$ 所以： $$ \left( \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \right)^2 \sim \chi^2(1) $$ 我们把这个式子变形一下： $$ \left( \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \right)^2 = n \left( \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \right)^2 $$ 所以： $$ n \left( \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(1) $$ --- ### 第三步：分析选项我们来逐个看选项： #### A. $\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$ 不对。因为前面我们推导出的是： $$ n \left( \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(1) $$ 而不是这个表达式本身。 #### B. $n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$ ✅ 正确。这个就是我们刚刚推导出的结论。 #### C. $\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim t(1)$ ❌ 错误。t 分布不是这个形式，而且平方后不可能是 t 分布。 #### D. $t\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim t(1)$ ❌ 错误。这个表达式形式就不对，而且 t 分布的构造和这个不一样。 --- ### ✅ 正确答案是： $$ \boxed{B} $$

解析

考查要点：本题主要考查正态总体样本均值的分布性质，以及卡方分布的构造方法。
解题核心思路：

样本均值的标准化：明确样本均值的分布形式，并将其标准化为标准正态变量。
卡方分布的构造：理解标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布，并注意是否需要引入样本容量$n$的修正。
破题关键点：

标准化后的样本均值：$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
平方后的分布：标准正态变量的平方服从$\chi^2(1)$，但需注意是否包含$n$的系数。

第一步：样本均值的分布

样本均值$\overline{X}$服从正态分布：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).$
标准化后得到：
$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).$

第二步：构造卡方分布

对标准正态变量$Z$平方，得到：
$Z^2 = \left( \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \right)^2 \sim \chi^2(1).$
展开后可得：
$n \left( \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(1).$

第三步：分析选项

选项A：$\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$
错误。缺少$n$的系数，正确形式应为$n \left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$。
选项B：$n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$
正确。符合卡方分布的构造结果。
选项C：$\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim t(1)$
错误。平方后的变量不可能服从$t$分布，且自由度为1的$t$分布形式不符。
选项D：$t\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim t(1)$
错误。表达式形式不合法，且$t$分布的构造需结合卡方变量的平方根。