535 设X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则-|||-不能得出结论-|||-(A) sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2 服从x^2分布. (B) (({X)_(n)-(X)_(1))}^2 服从x^2分布.-|||-(C) sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 服从x^2分布.-|||-(D) ((overline {x)-mu )}^2 服从x^2分布.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查卡方分布的定义及其应用，涉及正态变量线性组合、样本均值与方差的分布性质。

解题核心思路：

1. 卡方分布的构成：独立标准正态变量的平方和服从卡方分布，自由度为变量个数。
2. 标准化处理：将非标准正态变量转化为标准正态变量，再分析其平方或平方和的分布。
3. 关键判断点：每个选项需验证是否满足卡方分布的结构，特别注意变量是否独立、方差是否为1。

破题关键：

• 选项B的表达式中，$(X_n - X_1)$的方差为2，标准化后平方服从$\chi^2(1)$，但原式未正确调整系数，导致整体分布不符合卡方分布。

选项分析

(A) $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$

• 标准化分析：$X_i \sim N(\mu, 1)$，故$X_i - \mu \sim N(0, 1)$。
• 平方和性质：$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$是$n$个独立标准正态变量的平方和，服从$\chi^2(n)$。
• 结论：可以得出结论，选项A正确。

(B) $2(X_n - X_1)^2$

• 差值分布：$X_n - X_1 \sim N(0, 2)$（方差为$1+1=2$）。
• 标准化处理：$\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)$，其平方服从$\chi^2(1)$。
• 原式变形：$2(X_n - X_1)^2 = 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}})^2 = 4 \cdot \left(\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}}\right)^2$。
• 结论：原式是$4$倍的$\chi^2(1)$，不满足卡方分布，选项B错误。

(C) $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$

• 样本方差关系：$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = (n-1)S^2$，其中$S^2$为样本方差。
• 卡方分布性质：对于正态总体，$(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。
• 结论：可以得出结论，选项C正确。

(D) $n(\overline{X} - \mu)^2$

• 样本均值分布：$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，故$\overline{X} - \mu \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$。
• 标准化处理：$\sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \sim N(0, 1)$，其平方服从$\chi^2(1)$。
• 原式变形：$n(\overline{X} - \mu)^2 = \left(\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)\right)^2 \sim \chi^2(1)$。
• 结论：可以得出结论，选项D正确。