题目
535 设X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则-|||-不能得出结论-|||-(A) sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2 服从x^2分布. (B) (({X)_(n)-(X)_(1))}^2 服从x^2分布.-|||-(C) sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 服从x^2分布.-|||-(D) ((overline {x)-mu )}^2 服从x^2分布.A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：理解题目背景
题目中提到的X1, X2, ..., Xn是从总体N(μ,1)中抽取的简单随机样本，其中μ是总体均值，1是总体方差。样本均值记为 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。我们需要判断哪些选项中的表达式服从卡方分布（χ^2分布）。
步骤 2：分析选项A
$\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\mu )}^{2}$ 是n个独立的正态分布随机变量的平方和，每个变量的方差为1，因此该表达式服从自由度为n的卡方分布。
步骤 3：分析选项B
$2{({X}_{n}-{X}_{1})}^{2}$ 是两个独立的正态分布随机变量之差的平方的两倍。由于差的平方的分布不是卡方分布，因此该表达式不直接服从卡方分布。
步骤 4：分析选项C
$\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 是样本方差的n倍，即n个独立的正态分布随机变量减去样本均值后的平方和，因此该表达式服从自由度为n-1的卡方分布。
步骤 5：分析选项D
$n{(\overline {X}-\mu )}^{2}$ 是样本均值减去总体均值的平方的n倍，由于样本均值的分布是正态分布，因此该表达式服从自由度为1的卡方分布。
题目中提到的X1, X2, ..., Xn是从总体N(μ,1)中抽取的简单随机样本，其中μ是总体均值，1是总体方差。样本均值记为 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。我们需要判断哪些选项中的表达式服从卡方分布（χ^2分布）。
步骤 2：分析选项A
$\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\mu )}^{2}$ 是n个独立的正态分布随机变量的平方和，每个变量的方差为1，因此该表达式服从自由度为n的卡方分布。
步骤 3：分析选项B
$2{({X}_{n}-{X}_{1})}^{2}$ 是两个独立的正态分布随机变量之差的平方的两倍。由于差的平方的分布不是卡方分布，因此该表达式不直接服从卡方分布。
步骤 4：分析选项C
$\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 是样本方差的n倍，即n个独立的正态分布随机变量减去样本均值后的平方和，因此该表达式服从自由度为n-1的卡方分布。
步骤 5：分析选项D
$n{(\overline {X}-\mu )}^{2}$ 是样本均值减去总体均值的平方的n倍，由于样本均值的分布是正态分布，因此该表达式服从自由度为1的卡方分布。