同种材料制成的两根实心圆轴,第一根圆轴的直径 和长度 分别是第二根轴直径 和长度 的2倍,两根轴的两端承受相等的转矩作用.两根圆轴的最大扭转切应力之比 ,两端相对扭转角之比 . (答案保留三位小数)

考查要点：本题主要考查圆轴扭转时最大切应力和相对扭转角的计算，涉及抗扭截面模量和极惯性矩的公式应用，以及参数比例关系的分析。

解题核心思路：

1. 最大切应力：由公式 $\tau_{\text{max}} = \frac{T}{W_p}$，其中抗扭截面模量 $W_p = \frac{\pi d^3}{32}$。直径翻倍时，抗扭截面模量增大8倍，导致切应力减小为原来的1/8。
2. 相对扭转角：由公式 $\phi = \frac{TL}{G I_p$，其中极惯性矩 $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$。直径翻倍时，极惯性矩增大16倍，长度翻倍使分子增加2倍，整体扭转角减小为原来的1/8。

破题关键：明确直径和长度变化对 $W_p$ 和 $I_p$ 的影响，通过比例关系直接计算比值。

最大切应力之比

1. 抗扭截面模量公式：
   $W_p = \frac{\pi d^3}{32}$
   第一根轴直径 $d_1 = 2d_2$，则：
   $W_{p1} = \frac{\pi (2d_2)^3}{32} = 8 \cdot \frac{\pi d_2^3}{32} = 8W_{p2}$
2. 切应力公式：
   $\tau_{\text{max}} = \frac{T}{W_p}$，因此：
   $\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}} = \frac{W_{p2}}{W_{p1}} = \frac{1}{8} = 0.125$

相对扭转角之比

1. 极惯性矩公式：
   $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
   第一根轴直径 $d_1 = 2d_2$，则：
   $I_{p1} = \frac{\pi (2d_2)^4}{32} = 16 \cdot \frac{\pi d_2^4}{32} = 16I_{p2}$
2. 扭转角公式：
   $\phi = \frac{TL}{G I_p}$，第一根轴长度 $L_1 = 2L_2$，代入得：
   $\frac{\phi_{1}}{\phi_{2}} = \frac{T L_1 / I_{p1}}{T L_2 / I_{p2}} = \frac{2L_2 / 16I_{p2}}{L_2 / I_{p2}} = \frac{2}{16} = 0.125$