题目
设随机变量 X sim N(1,8)，P(0 leq X leq 2)= 0.6，则 PX < 0 = ___。 A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
设随机变量 $X \sim N(1,8)$，$P(0 \leq X \leq 2)= 0.6$，则 $P\{X < 0\} = \_\_\_$。
- A. 0.2
- B. 0.3
- C. 0.4
- D. 0.6
题目解答
答案
已知 $X \sim N(1, 8)$，即均值 $\mu = 1$，方差 $\sigma^2 = 8$，标准差 $\sigma = 2\sqrt{2}$。
转换为标准正态变量 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则
\[
P(0 \le X \le 2) = P\left(-\frac{\sqrt{2}}{4} \le Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.6
\]
由对称性，
\[
P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.3
\]
\[
P\left(Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.5 + 0.3 = 0.8
\]
\[
P\left(Z < -\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 1 - 0.8 = 0.2
\]
即
\[
P\{X < 0\} = 0.2
\]
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：确定正态分布参数
已知随机变量 $X \sim N(1, 8)$，即均值 $\mu = 1$，方差 $\sigma^2 = 8$，标准差 $\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
步骤 2：转换为标准正态变量
将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则
\[ P(0 \le X \le 2) = P\left(\frac{0 - 1}{2\sqrt{2}} \le Z \le \frac{2 - 1}{2\sqrt{2}}\right) = P\left(-\frac{\sqrt{2}}{4} \le Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.6 \]
步骤 3：利用对称性求解
由对称性，$P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.3$，因此
\[ P\left(Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.5 + 0.3 = 0.8 \]
\[ P\left(Z < -\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 1 - 0.8 = 0.2 \]
即
\[ P\{X < 0\} = 0.2 \]
已知随机变量 $X \sim N(1, 8)$，即均值 $\mu = 1$，方差 $\sigma^2 = 8$，标准差 $\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
步骤 2：转换为标准正态变量
将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则
\[ P(0 \le X \le 2) = P\left(\frac{0 - 1}{2\sqrt{2}} \le Z \le \frac{2 - 1}{2\sqrt{2}}\right) = P\left(-\frac{\sqrt{2}}{4} \le Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.6 \]
步骤 3：利用对称性求解
由对称性，$P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.3$，因此
\[ P\left(Z \le \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0.5 + 0.3 = 0.8 \]
\[ P\left(Z < -\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 1 - 0.8 = 0.2 \]
即
\[ P\{X < 0\} = 0.2 \]