决定系数与相关系数的意义是什么？有何区别？

考查要点：本题主要考查决定系数和相关系数的基本概念、实际意义及其区别。
核心思路：

1. 决定系数（$R^2$）反映回归模型对数据拟合的可靠性，即模型解释因变量变异的比例。
2. 相关系数（$r$）衡量变量间的线性关系强度与方向，取值范围为$[-1,1]$。
3. 关键区别在于两者取值范围、符号特性及应用场景：$R^2$始终非负，而$r$可正可负，且$R^2 = r^2$。

决定系数的意义

决定系数（$R^2$）表示回归方程对观测数据拟合的可靠程度，取值范围为$[0,1]$。

• 值越大（接近1），说明回归直线对数据点的拟合效果越好；
• 值越小（接近0），说明拟合效果越差。

相关系数的意义

相关系数（$r$）反映变量$x$与$y$的线性关系强度与性质：

• 绝对值$|r|$越大，线性关系越强；
• 符号正负表示关系的方向（正相关或负相关）。

两者的区别

1. 取值范围与大小关系：
   • 除$r=0$或$|r|=1$的特殊情况外，$R^2 = r^2$总小于$|r|$。
   • 例如：若$r=0.8$，则$R^2=0.64$，此时$0.64 < 0.8$。
2. 符号特性：
   • $r$可正可负，反映相关方向；
   • $R^2$始终为正，仅反映相关程度。
3. 应用场景：
   • $r$用于判断变量间是否线性相关及方向；
   • $R^2$用于评估回归模型的拟合优度。