题目

在总体(5,(4)^2)中随机抽取容量为16的样本(5,(4)^2)，求样本均值落在4.8到5.2之间的概率。(注：(5,(4)^2))

在总体 $N(5,4^2)$ 中随机抽取容量为16的样本 $X_1,X_2,\dots,X_{16}$ ，求样本均值落在4.8到5.2之间的概率。(注： $Φ(0.2)=0.5793$ )

题目解答

答案

$X\sim N(5,4^2)$ 表示总体X服从参数为 $\mu=5,\sigma^2=16$ 的正态分布，则 $EX=\mu=5,DX=\sigma^2=16$ ，则 $E\left(\overline{X}\right)=EX=5,D\left(\overline{X}\right)=\frac{1}{n}DX=\frac{16}{16}=1$ ，则样本均值落在4.8到5.2之间的概率为 $P\left(4.8\le\overline{X}\le5.2\right)=P\left(-0.2\le\frac{\overline{X}-5}{1}\le0.2\right)$ $=Φ\left(0.2\right)-Φ\left(-0.2\right)=Φ\left(0.2\right)-\left[1-Φ\left(0.2\right)\right]$ $=2Φ\left(0.2\right)-1=2\times0.5793-1=0.1586$ .

解析

步骤 1：确定总体参数
总体X服从参数为μ=5，σ^2=16的正态分布，即$X\sim N(5,16)$。

步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})=EX=5$，样本均值的方差$D(\overline{X})=\frac{1}{n}DX=\frac{16}{16}=1$。

步骤 3：计算样本均值落在4.8到5.2之间的概率
样本均值$\overline{X}$落在4.8到5.2之间的概率为$P(4.8\leqslant \overline{X}\leqslant 5.2)$。将$\overline{X}$标准化，得到$P(-0.2\leqslant \frac{\overline{X}-5}{1}\leqslant 0.2)$。根据标准正态分布表，$P(-0.2\leqslant \frac{\overline{X}-5}{1}\leqslant 0.2)=2\Phi(0.2)-1$，其中$\Phi(0.2)=0.5793$。