题目

一定量的流体在圆直管内流动,若管长和流体物性不变,而将管径减小至原来的dfrac (1)(2),试求下列两种情况下,因流动阻力而产生的机械能损失是原来的多少倍(1)流体在管内层流流动; (2)流体在管内湍流流动,阻力系数可用dfrac (1)(2)计算。

一定量的流体在圆直管内流动,若管长和流体物性不变,而将管径减小至原来的 $\frac{1}{2}$ ,试求下列两种情况下,因流动阻力而产生的机械能损失是原来的多少倍

(1)流体在管内层流流动;

(2)流体在管内湍流流动,阻力系数可用 $\lambda=\frac{0.3164}{Re^{0.25}}$ 计算。

题目解答

答案

一、层流情况

基本公式：

压头损失：

$h_f=\frac{32\mu lu}{d^2\rho g}$

体积流量守恒：

$V=uA=\pi\frac{d^2}{4}u$

当管径变为原来的 $\frac{1}{2}$ 时：

$u_2=4u_1$

机械能损失倍数：

原机械能损失：

$h_{f1}=\frac{32\mu lu_1}{d_1^2\rho g}$

新机械能损失：

$h_{f2}=\frac{32\mu l(4u_1)}{(\frac{d_1}{2})^2\rho g}=\frac{32\mu l\cdot4u_1}{\frac{d_1^2}{4}\rho g}=\frac{128\mu lu_1}{d_1^2\rho g}$

比较两者：

$\frac{h_{f2}}{h_{f1}}=16$

二、湍流情况

基本公式：

压头损失：

$h_f=\lambda\frac{l}{d}\frac{u^2}{2g}$

阻力系数：

$\lambda=\frac{0.3164}{Re^{0.25}}$

雷诺数变化：

$Re_2=2Re_1$

机械能损失倍数：

原机械能损失：

$h_{f1}=\lambda_1\frac{l}{d_1}\frac{u_1^2}{2g}$

新机械能损失：

$h_{f2}=\lambda_2\frac{l}{d_2}\frac{u_2^2}{2g}=\frac{0.3164}{(2Re_1)^{0.25}}\cdot\frac{l}{\frac{d_1}{2}}\cdot\frac{(4u_1)^2}{2g}$

比较两者：

$\frac{h_{f2}}{h_{f1}}=\frac{2\times16}{2^{0.25}}\approx26.91$

在层流情况下，管径减半导致机械能损失增加16倍，

而在湍流情况下，机械能损失则增加约26.91倍。

解析

步骤 1：层流流动情况
- 压头损失公式：${h}_{f}=\dfrac {32\mu l}{{d}^{2}\rho g}$
- 体积流量守恒：$V=uA=\pi \dfrac {{d}^{2}}{4}u$
- 当管径变为原来的$\dfrac {1}{2}$时，流速变为原来的4倍，即${u}_{2}=4u_{1}$
- 机械能损失倍数：$\dfrac {{h}_{f2}}{{h}_{f1}}=\dfrac {16{h}_{f1}}{{h}_{f1}}=16$

步骤 2：湍流流动情况
- 压头损失公式：${h}_{f}=\lambda \dfrac {l}{d}\dfrac {{u}^{2}}{2g}$
- 阻力系数公式：$\lambda =\dfrac {0.3164}{R{e}^{0.25}}$
- 雷诺数变化：${R}_{{e}_{2}}=2R{e}_{1}$
- 机械能损失倍数：$\dfrac {{h}_{f2}}{{h}_{f1}}=\dfrac {2\times 16}{{2}^{0.25}}\approx 26.91$