题目

一定量的流体在圆直管内流动,若管长和流体物性不变,而将管径减小至原来的dfrac (1)(2),试求下列两种情况下,因流动阻力而产生的机械能损失是原来的多少倍(1)流体在管内层流流动; (2)流体在管内湍流流动,阻力系数可用dfrac (1)(2)计算。

一定量的流体在圆直管内流动,若管长和流体物性不变,而将管径减小至原来的,试求下列两种情况下,因流动阻力而产生的机械能损失是原来的多少倍

(1)流体在管内层流流动;

 (2)流体在管内湍流流动,阻力系数可用计算。

题目解答

答案

一、层流情况

基本公式：

压头损失：

体积流量守恒：

当管径变为原来的时：

机械能损失倍数：

原机械能损失：

新机械能损失：

比较两者：

二、湍流情况

基本公式：

压头损失：

阻力系数：

雷诺数变化：

机械能损失倍数：

原机械能损失：

新机械能损失：

比较两者：

在层流情况下，管径减半导致机械能损失增加16倍，

而在湍流情况下，机械能损失则增加约26.91倍。

解析

考查要点：本题考察圆管流动中机械能损失随管径变化的规律，涉及层流和湍流两种流动状态的阻力计算。

解题核心思路：

  1. 层流流动：机械能损失与管径的平方成反比，且流速与管径平方成反比。结合体积流量守恒，推导管径变化后的机械能损失倍数。
  2. 湍流流动：阻力系数与雷诺数相关，需分析雷诺数随管径变化的规律，再结合流速变化计算机械能损失倍数。

破题关键点：

  • 体积流量守恒：管径减半时，流速变为原来的4倍。
  • 层流阻力公式：机械能损失与管径的4次方成反比。
  • 湍流阻力系数：阻力系数与雷诺数的平方根相关，需通过雷诺数变化推导阻力系数变化。

第（1）题：层流流动

体积流量守恒

体积流量 $Q = \dfrac{\pi d^2 u}{4}$，当管径变为 $\dfrac{d}{2}$ 时，流速 $u_2 = 4u_1$。

机械能损失公式

层流时机械能损失公式为：
$h_f = \dfrac{32 \mu L}{d^2 \rho g} \cdot u$

代入流速关系

原机械能损失：
$h_{f1} = \dfrac{32 \mu L}{d_1^2 \rho g} \cdot u_1$

新机械能损失：
$h_{f2} = \dfrac{32 \mu L}{(d_1/2)^2 \rho g} \cdot (4u_1) = \dfrac{32 \mu L}{d_1^2 \rho g} \cdot 16u_1 = 16h_{f1}$

结论：机械能损失为原来的 16倍。

第（2）题：湍流流动

雷诺数变化

雷诺数 $Re = \dfrac{\rho u d}{\mu}$，管径减半且流速变为4倍时：
$Re_2 = \dfrac{\rho (4u_1) (d_1/2)}{\mu} = 2Re_1$

阻力系数变化

阻力系数 $\lambda = \dfrac{0.3164}{Re^{0.25}}$，故：
$\lambda_2 = \dfrac{0.3164}{(2Re_1)^{0.25}} = \dfrac{\lambda_1}{2^{0.25}}$

机械能损失公式

湍流时机械能损失公式为：
$h_f = \dfrac{\lambda L}{d} \cdot \dfrac{u^2}{2g}$

原机械能损失：
$h_{f1} = \dfrac{\lambda_1 L}{d_1} \cdot \dfrac{u_1^2}{2g}$

新机械能损失：
$h_{f2} = \dfrac{\lambda_2 L/(d_1/2)}{d_1} \cdot \dfrac{(4u_1)^2}{2g} = \dfrac{2\lambda_2 L}{d_1} \cdot \dfrac{16u_1^2}{2g} = \dfrac{16\lambda_2 L u_1^2}{d_1 g}$

倍数计算

$\dfrac{h_{f2}}{h_{f1}} = \dfrac{16\lambda_2}{\lambda_1/2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{16}{2^{0.25}} \approx 26.91$

结论：机械能损失为原来的 约26.91倍。