题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自正态总体 N(mu,1) 的一个简单随机样本，overline(X), S^2 分别为样本均值与样本方差，则下列结论正确的是（） A. overline(X) sim N(0,1)；B. (n-1)S^2 sim chi^2(n-1)；C. sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2 sim chi^2(n-1)；D. (overline(X))/(S/sqrt(n-1)) sim t(n-1).
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,1)$ 的一个简单随机样本，$\overline{X}$, $S^2$ 分别为样本均值与样本方差，则下列结论正确的是（）
- A. $\overline{X} \sim N(0,1)$；
- B. $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$；
- C. $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n-1)$；
- D. $\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n-1}} \sim t(n-1)$.
题目解答
答案
**答案：B**
**解析：**
- **选项A**：样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时服从 $N(0,1)$，排除。
- **选项B**：由样本方差性质，$(n-1)S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，且 $\sigma^2=1$，故 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$，正确。
- **选项C**：$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n)$，自由度为 $n$，排除。
- **选项D**：应为 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$，形式不符，排除。
**答案：B**
解析
步骤 1：分析选项A
样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时服从 $N(0,1)$，因此选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
由样本方差性质，$(n-1)S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，且 $\sigma^2=1$，故 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$，因此选项B正确。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n)$，自由度为 $n$，因此选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
应为 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$，形式不符，因此选项D不正确。
样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时服从 $N(0,1)$，因此选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
由样本方差性质，$(n-1)S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，且 $\sigma^2=1$，故 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$，因此选项B正确。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n)$，自由度为 $n$，因此选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
应为 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$，形式不符，因此选项D不正确。