题目

8.已知一批零件的长度 sim N(mu ,4) 从中随机抽取25个零件,得到长度的-|||-平均值为40,则μ的里信水平为0.95的单侧置信下限为8.已知一批零件的长度 sim N(mu ,4) 从中随机抽取25个零件,得到长度的-|||-平均值为40,则μ的里信水平为0.95的单侧置信下限为

$\begin{aligned}&\text{8. 已知一批零件的长度 }X\sim N(\mu,4)\text{,从中随机抽取 25 个零件,得到长度的}\\&\text{平均值为 40,则 }\mu\text{ 的里信水平为 0.95 的单侧置信下限为 }\end{aligned}\text{。}$

$\left(Φ\left(.96\right)=0.975,Φ\left(1.645\right)=0.95\right).$

题目解答

答案

$\begin{aligned} & \text{解析}:\text{属于正态总体 }\sigma^2\text{ 已知},\text{估计 }\mu\text{ 的类型}. \\ &\text{因为 }1-\alpha=0.95,\text{所以 }\alpha=0.05. \\ &\text{查得 }u_{\frac a2}=1.96. \\ &\text{而 }n=16,\overline{x}=40, \\ &\text{由置信区间}\left(\overline{x}-u_{\fracα2}\frac\sigma{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\fracα2}\frac\sigma{\sqrt{n}}\right)\text{知,} \\ \end{aligned}$

查表计算 $\mu$ 的置信水平为0.95的单侧置信下限为39.34.

解析

步骤 1：确定已知条件
已知零件长度 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 4)$，其中 $\mu$ 是均值，4 是方差。从这批零件中随机抽取了25个零件，得到的平均长度为40。需要求出 $\mu$ 的置信水平为0.95的单侧置信下限。

步骤 2：计算标准误差
由于样本量为25，方差为4，因此标准差为 $\sqrt{4} = 2$。标准误差（SE）为 $\frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$。

步骤 3：确定临界值
置信水平为0.95的单侧置信下限对应的临界值为1.645（查标准正态分布表得到）。

步骤 4：计算置信下限
置信下限的计算公式为 $\bar{x} - z_{\alpha} \cdot SE$，其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha}$ 是临界值，SE 是标准误差。将已知数值代入公式，得到置信下限为 $40 - 1.645 \cdot 0.4 = 40 - 0.658 = 39.342$。