题目
10.设(X1,···,Xn)是取自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的样本 (ngt 2), X与S^2分别是样本均值和样本方差,则下列结论-|||-正确的是 __-|||-A. (X)_(2)-(X)_(1)sim N(mu ,(sigma )^2)-|||-B. dfrac (n{(X-mu ))^2}({S)^2}sim F(1,n-1)-|||-C. dfrac ({S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1)-|||-D. dfrac (X-n)(S)sqrt (n-1)sim t(n-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项A
$2{X}_{2}-{X}_{1}$ 是两个正态分布随机变量的线性组合，其均值为 $2\mu - \mu = \mu$，方差为 $4\sigma^2 + \sigma^2 = 5\sigma^2$，因此 $2{X}_{2}-{X}_{1} \sim N(\mu, 5\sigma^2)$，故A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\dfrac {n{(X-\mu )}^{2}}{{S}^{2}}$ 是一个F分布的统计量，其中分子是自由度为1的卡方分布，分母是自由度为n-1的卡方分布，因此 $\dfrac {n{(X-\mu )}^{2}}{{S}^{2}} \sim F(1, n-1)$，故B正确。
步骤 3：分析选项C
$\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$ 是一个卡方分布的统计量，其自由度为n-1，因此 $\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}} \sim \chi^2(n-1)$，故C不正确。
步骤 4：分析选项D
$\dfrac {X-n}{S}\sqrt {n-1}$ 是一个t分布的统计量，其中分子是自由度为n-1的t分布，分母是样本标准差，因此 $\dfrac {X-n}{S}\sqrt {n-1} \sim t(n-1)$，故D不正确。
$2{X}_{2}-{X}_{1}$ 是两个正态分布随机变量的线性组合，其均值为 $2\mu - \mu = \mu$，方差为 $4\sigma^2 + \sigma^2 = 5\sigma^2$，因此 $2{X}_{2}-{X}_{1} \sim N(\mu, 5\sigma^2)$，故A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\dfrac {n{(X-\mu )}^{2}}{{S}^{2}}$ 是一个F分布的统计量，其中分子是自由度为1的卡方分布，分母是自由度为n-1的卡方分布，因此 $\dfrac {n{(X-\mu )}^{2}}{{S}^{2}} \sim F(1, n-1)$，故B正确。
步骤 3：分析选项C
$\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$ 是一个卡方分布的统计量，其自由度为n-1，因此 $\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}} \sim \chi^2(n-1)$，故C不正确。
步骤 4：分析选项D
$\dfrac {X-n}{S}\sqrt {n-1}$ 是一个t分布的统计量，其中分子是自由度为n-1的t分布，分母是样本标准差，因此 $\dfrac {X-n}{S}\sqrt {n-1} \sim t(n-1)$，故D不正确。