--- 1-|||----|||-----|||-h 欲建一水塔向某工厂供水,如图所示,从水塔到工厂的管长(包括局部阻力当量长度)为500m,最大流量为0.02m3·s-1。管出口处需保持10m 水柱的压头(表压)。若摩擦系数λ=0.023,求:(a)当管内流速为1.05 m·s-1,所需管径及塔高;(b)当管内流速为4 m·s-1,所需管径及塔高;(c)由(a)、(b)计算结果,分析满足一定流量时,塔高与管径的关系。

本题考查伯努利方程在管道流动中的应用，需结合摩擦损失计算和流量与管径的关系。解题核心在于：

1. 建立能量方程：以水塔和工厂出口为控制截面，考虑动能、势能、压力能及摩擦损失；
2. 流量与流速、管径的关系：通过公式 $Q = \dfrac{\pi d^2 u}{4}$ 联立求解；
3. 分析塔高与管径的关系：通过计算结果归纳摩擦损失对塔高的影响规律。

第（a）题

计算管径

根据流量公式 $Q = \dfrac{\pi d^2 u}{4}$，变形得：
$d = \sqrt{\dfrac{4Q}{\pi u}} = \sqrt{\dfrac{4 \times 0.02}{3.14 \times 1.05}} \approx 0.156 \, \text{m}$

计算摩擦损失

摩擦损失公式为：
$H_f = \lambda \dfrac{L}{d} \cdot \dfrac{u^2}{2g} = 0.023 \times \dfrac{500}{0.156} \times \dfrac{1.05^2}{2 \times 9.81} \approx 4.14 \, \text{m水柱}$

计算塔高

代入伯努利方程：
$h = \dfrac{u_2^2}{2g} + p_2 + H_f = \dfrac{1.05^2}{2 \times 9.81} + 10 + 4.14 \approx 14.2 \, \text{m}$

第（b）题

计算管径

同理：
$d = \sqrt{\dfrac{4 \times 0.02}{3.14 \times 4}} \approx 0.08 \, \text{m}$

计算摩擦损失

$H_f = 0.023 \times \dfrac{500}{0.08} \times \dfrac{4^2}{2 \times 9.81} \approx 117.16 \, \text{m水柱}$

计算塔高

$h = \dfrac{4^2}{2 \times 9.81} + 10 + 117.16 \approx 128 \, \text{m}$

第（c）题

分析：
当流量固定时，管径减小会导致流速增大，从而摩擦损失急剧增加（与 $d^{-5}$ 成正比）。因此，塔高需显著增加以补偿更大的能量损失，说明塔高与管径呈五次方反比关系。