题目
2.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，X的分布密度为f(x;theta)=}theta x^theta-1&0<10&其它,试分别用矩估计法和极大似然估计法求总体参数θ的估计量。
2.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，X的分布密度为
$f(x;\theta)=\begin{cases}\theta x^{\theta-1}&0<1\\0&其它\end{cases},$
试分别用矩估计法和极大似然估计法求总体参数θ的估计量。
题目解答
答案
**矩估计法：**
1. 计算总体期望：
$E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} \, dx = \frac{\theta}{\theta+1}$。
2. 令样本均值等于总体期望：
$\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}$。
3. 解得 $\theta = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}$。
**极大似然估计法：**
1. 写似然函数：
$L(\theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}$。
2. 取对数似然：
$\ell(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln X_i$。
3. 求导并设为零：
$\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0$。
4. 解得 $\theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$ 或 $\theta = -\frac{1}{\overline{\ln X}}$。
**答案：**
矩估计量：$\boxed{\frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}}$
极大似然估计量：$\boxed{-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}}$ 或 $\boxed{-\frac{1}{\overline{\ln X}}}$
解析
## 矩估计法：
步骤 1：计算总体期望
总体期望 $E(X)$ 可以通过积分计算得到：
$$
E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} \, dx = \theta \int_0^1 x^{\theta} \, dx = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_0^1 = \frac{\theta}{\theta+1}
$$
步骤 2：令样本均值等于总体期望
样本均值 $\overline{X}$ 估计总体期望 $E(X)$，因此有：
$$
\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}
$$
步骤 3：解得 $\theta$
解方程 $\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}$，得到：
$$
\theta = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}
$$
## 极大似然估计法：
步骤 1：写似然函数
似然函数 $L(\theta)$ 为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}
$$
步骤 2：取对数似然
对数似然函数 $\ell(\theta)$ 为：
$$
\ell(\theta) = \ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln X_i
$$
步骤 3：求导并设为零
对 $\ell(\theta)$ 求导并设导数为零：
$$
\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0
$$
步骤 4：解得 $\theta$
解方程 $\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0$，得到：
$$
\theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i} = -\frac{1}{\overline{\ln X}}
$$
步骤 1：计算总体期望
总体期望 $E(X)$ 可以通过积分计算得到：
$$
E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} \, dx = \theta \int_0^1 x^{\theta} \, dx = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_0^1 = \frac{\theta}{\theta+1}
$$
步骤 2：令样本均值等于总体期望
样本均值 $\overline{X}$ 估计总体期望 $E(X)$，因此有：
$$
\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}
$$
步骤 3：解得 $\theta$
解方程 $\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1}$，得到：
$$
\theta = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}
$$
## 极大似然估计法：
步骤 1：写似然函数
似然函数 $L(\theta)$ 为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}
$$
步骤 2：取对数似然
对数似然函数 $\ell(\theta)$ 为：
$$
\ell(\theta) = \ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln X_i
$$
步骤 3：求导并设为零
对 $\ell(\theta)$ 求导并设导数为零：
$$
\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0
$$
步骤 4：解得 $\theta$
解方程 $\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0$，得到：
$$
\theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i} = -\frac{1}{\overline{\ln X}}
$$