题目
8.等截面实心圆轴,当两端面作用M。的扭转力偶矩时开始屈服。若将其横截面面积增加-|||-一倍(截面仍为圆形),该圆轴屈服时的扭转力偶矩是 __-|||-(A) sqrt (2)M (B) sqrt (2)M (C)2M。 (D)4M。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆轴的横截面面积与直径的关系
圆轴的横截面面积 $A$ 与直径 $d$ 的关系为 $A = \frac{\pi d^2}{4}$。因此，当横截面面积增加一倍时，新的横截面面积 $A' = 2A$，即 $\frac{\pi d'^2}{4} = 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4}$，从而得到 $d'^2 = 2d^2$，即 $d' = \sqrt{2}d$。
步骤 2：确定圆轴的抗扭刚度与直径的关系
圆轴的抗扭刚度 $GJ$ 与直径 $d$ 的关系为 $J = \frac{\pi d^4}{32}$，其中 $J$ 是极惯性矩。因此，当直径增加到 $d' = \sqrt{2}d$ 时，新的极惯性矩 $J' = \frac{\pi (\sqrt{2}d)^4}{32} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\pi d^4}{32} = 2\sqrt{2}J$。
步骤 3：确定圆轴的屈服扭转力偶矩与抗扭刚度的关系
圆轴的屈服扭转力偶矩 $M$ 与抗扭刚度 $GJ$ 的关系为 $M = \tau_{\text{yield}} \cdot J$，其中 $\tau_{\text{yield}}$ 是材料的屈服剪切应力。因此，当抗扭刚度增加到 $J' = 2\sqrt{2}J$ 时，新的屈服扭转力偶矩 $M' = \tau_{\text{yield}} \cdot J' = \tau_{\text{yield}} \cdot 2\sqrt{2}J = 2\sqrt{2}M$。
圆轴的横截面面积 $A$ 与直径 $d$ 的关系为 $A = \frac{\pi d^2}{4}$。因此，当横截面面积增加一倍时，新的横截面面积 $A' = 2A$，即 $\frac{\pi d'^2}{4} = 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4}$，从而得到 $d'^2 = 2d^2$，即 $d' = \sqrt{2}d$。
步骤 2：确定圆轴的抗扭刚度与直径的关系
圆轴的抗扭刚度 $GJ$ 与直径 $d$ 的关系为 $J = \frac{\pi d^4}{32}$，其中 $J$ 是极惯性矩。因此，当直径增加到 $d' = \sqrt{2}d$ 时，新的极惯性矩 $J' = \frac{\pi (\sqrt{2}d)^4}{32} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\pi d^4}{32} = 2\sqrt{2}J$。
步骤 3：确定圆轴的屈服扭转力偶矩与抗扭刚度的关系
圆轴的屈服扭转力偶矩 $M$ 与抗扭刚度 $GJ$ 的关系为 $M = \tau_{\text{yield}} \cdot J$，其中 $\tau_{\text{yield}}$ 是材料的屈服剪切应力。因此，当抗扭刚度增加到 $J' = 2\sqrt{2}J$ 时，新的屈服扭转力偶矩 $M' = \tau_{\text{yield}} \cdot J' = \tau_{\text{yield}} \cdot 2\sqrt{2}J = 2\sqrt{2}M$。