设在 N 件产品中有 M 件次品,现进行 n 次有放回的检查抽样,试 求抽得 k 件次品的概率.

考查要点：本题主要考查有放回抽样下的概率计算，核心是理解独立重复试验（贝努利试验）的应用条件，并掌握二项分布的概率公式。

解题思路：

1. 明确试验性质：有放回抽样保证每次试验条件相同，且各次试验相互独立。
2. 确定单次成功概率：抽到次品的概率为$\frac{M}{N}$。
3. 应用二项分布公式：计算$n$次独立试验中恰好成功$k$次的概率。

破题关键：

• 有放回抽样确保独立性和相同概率，直接对应二项分布的条件。
• 正确识别“成功”（抽到次品）的概率$p = \frac{M}{N}$。

步骤1：定义事件与概率

设每次抽样“抽到次品”为事件$A$，则单次试验的成功概率为：
$p = P(A) = \frac{M}{N}$

步骤2：分析试验性质

由于是有放回抽样，每次抽样的结果相互独立，且每次抽到次品的概率均为$p$，因此属于$n$重贝努利试验。

步骤3：应用二项分布公式

在$n$次独立试验中，恰好有$k$次成功（抽到次品）的概率为：
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
其中：

• $C_n^k$为组合数，表示从$n$次中选$k$次成功；
• $p^k$为$k$次成功概率；
• $(1-p)^{n-k}$为$n-k$次失败概率。

步骤4：代入具体参数

将$p = \frac{M}{N}$代入公式，得：
$P_n(k) = C_n^k \cdot \left( \frac{M}{N} \right)^k \cdot \left( 1 - \frac{M}{N} \right)^{n-k}$