题目

某歌剧院最多容纳300位观众,该歌剧院为观众开放的停车场有90个停车位,假设每位观众是否开车来歌剧院观看演出是相互独立的,每位观众开车的概率114,在歌剧院某次演出观众满员的情况下,用中心极限定理估算没有足够车位的概率。

题目解答

答案

已知条件：

歌剧院最多容纳观众数 ( n = 300 )

停车场停车位数 ( m = 90 )

每位观众开车来的概率 ( p = 0.114 )

观众是否开车来的决定相互独立

观众满员情况下，需要停车位超过90个的概率：

如果所有300位观众都开车来，并且每位观众独立决定是否开车，我们需要计算有多少观众会开车，并估算需要的停车位数。

应用中心极限定理进行估算：

期望每位观众开车来的数量为 $(300\times0.114=34.2)辆车。$

方差为 $(300\times0.114\times(1-0.114)\approx29.857)。$

使用正态分布近似：

根据中心极限定理，总开车来的观众数服从近似正态分布 $( \mathcal{N}(34.2, \sqrt{29.857}) )$ 。我们需要估算超过90个停车位的概率：

计算标准化后的概率：

$[Z=\frac{90-34.2}{\sqrt{29.857}}\approx\frac{55.8}{5.46}\approx10.23]$

根据标准正态分布表或计算器，( Z = 10.23 ) 对应的概率非常接近于1。

结论：

在观众满员情况下，没有足够的停车位（少于90个）的概率非常接近于0。

因此，根据中心极限定理的估算，观众满员情况下停车位不够的概率非常接近于零。

解析

步骤 1：确定已知条件
- 歌剧院最多容纳观众数 ( n = 300 )
- 停车场停车位数 ( m = 90 )
- 每位观众开车来的概率 ( p = 0.114 )
- 观众是否开车来的决定相互独立

步骤 2：计算期望值和方差
- 期望每位观众开车来的数量为 $E(X) = np = 300 \times 0.114 = 34.2$ 辆
- 方差为 $Var(X) = np(1-p) = 300 \times 0.114 \times (1-0.114) \approx 29.857$

步骤 3：使用中心极限定理进行估算
- 总开车来的观众数服从近似正态分布 $N(34.2, \sqrt{29.857})$
- 需要估算超过90个停车位的概率
- 计算标准化后的概率
$Z = \dfrac{90 - 34.2}{\sqrt{29.857}} \approx \dfrac{55.8}{5.46} \approx 10.23$
- 根据标准正态分布表或计算器，$Z = 10.23$ 对应的概率非常接近于1
- 结论：在观众满员情况下，没有足够的停车位（少于90个）的概率非常接近于0