题目
X1,X2,···,Yn是来自总体X1,X2,···,Yn的简单随机样本,参数X1,X2,···,Yn0" data-width="49" data-height="19" data-size="793" data-format="png" style="max-width:100%">未知，记X1,X2,···,Yn为样本均值，X1,X2,···,Yn为样本方差，常数a为何值时，X1,X2,···,Yn是参数X1,X2,···,Yn的无偏估计量。
是来自总体
的简单随机样本,参数
未知，记
为样本均值，
为样本方差，常数a为何值时，
是参数
的无偏估计量。
题目解答
答案
对于泊松分布
，其均值方差均为。对于其样本均值以及样本方差，有性质
，
。因此
。若其为的无偏估计量，需令
，解得
。因此a=0或2
解析
步骤 1：确定泊松分布的均值和方差
泊松分布$(X)d\sim X$的均值和方差均为$\lambda$。因此，对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，我们有$E(\overline{X}) = \lambda$和$E(S^2) = \lambda$。
步骤 2：计算$\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}$的期望
根据期望的线性性质，我们有$E(\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}) = \dfrac{{a}^{2}}{2}E(\overline{X}) + (1-a)E(S^2)$。将$E(\overline{X}) = \lambda$和$E(S^2) = \lambda$代入，得到$E(\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}) = \lambda(\dfrac{{a}^{2}}{2} + 1 - a)$。
步骤 3：确定无偏估计量的条件
为了使$\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}$成为$\lambda$的无偏估计量，我们需要$E(\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}) = \lambda$。因此，我们需要$\lambda(\dfrac{{a}^{2}}{2} + 1 - a) = \lambda$。由于$\lambda > 0$，我们可以除以$\lambda$，得到$\dfrac{{a}^{2}}{2} + 1 - a = 1$。解这个方程，得到$a^2 - 2a = 0$，即$a(a - 2) = 0$。因此，$a = 0$或$a = 2$。
泊松分布$(X)d\sim X$的均值和方差均为$\lambda$。因此，对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，我们有$E(\overline{X}) = \lambda$和$E(S^2) = \lambda$。
步骤 2：计算$\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}$的期望
根据期望的线性性质，我们有$E(\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}) = \dfrac{{a}^{2}}{2}E(\overline{X}) + (1-a)E(S^2)$。将$E(\overline{X}) = \lambda$和$E(S^2) = \lambda$代入，得到$E(\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}) = \lambda(\dfrac{{a}^{2}}{2} + 1 - a)$。
步骤 3：确定无偏估计量的条件
为了使$\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}$成为$\lambda$的无偏估计量，我们需要$E(\dfrac{{a}^{2}}{2}\overline{X}+(1-a){S}^{2}) = \lambda$。因此，我们需要$\lambda(\dfrac{{a}^{2}}{2} + 1 - a) = \lambda$。由于$\lambda > 0$，我们可以除以$\lambda$，得到$\dfrac{{a}^{2}}{2} + 1 - a = 1$。解这个方程，得到$a^2 - 2a = 0$，即$a(a - 2) = 0$。因此，$a = 0$或$a = 2$。