题目

(单选题，5分) 对于随机变量X、Y，若E(XY)=E(X)·E(Y)，则()。 A. D(XY)=D(X)·D(Y) B. D(X+Y)=D(X)+D(Y) C. D(X-Y)=D(X)-D(Y) D. X与Y不独立。

(单选题，5分) 对于随机变量X、Y，若E(XY)=E(X)·E(Y)，则()。
A. D(XY)=D(X)·D(Y)
B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C. D(X-Y)=D(X)-D(Y)
D. X与Y不独立。

题目解答

答案

已知 $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$，则协方差 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关。 分析选项： - **A**：方差乘积无直接关系，排除。 - **B**：利用方差公式 $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$，协方差为零时成立，正确。 - **C**：同理，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X, Y)$，结果为 $D(X) + D(Y)$，排除。 - **D**：协方差为零仅表示不相关，无法推导不独立，排除。 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差与方差性质，以及不相关与独立性的关系。

解题核心思路：

  1. 关键条件：已知 $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$，可推导出协方差 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关。
  2. 方差公式：利用方差的性质展开选项中的表达式，结合协方差为零的条件进行判断。
  3. 独立性辨析：不相关（协方差为零）是独立的必要条件但非充分条件，因此不能直接推出独立性。

破题关键点：

  • 明确协方差与方差的关系，特别是 $D(X+Y)$ 和 $D(X-Y)$ 的展开形式。
  • 区分不相关与独立的关系，避免混淆两者。

选项分析

选项B

根据方差性质：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$
由于 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，代入得：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
结论：选项B正确。

选项D

协方差为零仅说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，但独立性要求更强（不仅不相关，且联合分布满足乘积关系）。因此无法推出 $X$ 和 $Y$ 独立。
结论：选项D错误。

选项A与C

  • 选项A：方差乘积 $D(XY)$ 与 $D(X) \cdot D(Y)$ 无直接关系，无法通过已知条件推导。
  • 选项C：类似选项B，展开得：
    $D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X, Y) = D(X) + D(Y)$
    但选项C错误地写为 $D(X) - D(Y)$，因此不成立。