题目
（单选题，2分）假设总体X服从正态分布X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，则有overline(X)sim（）. A. N（mu，(sigma^2)/(n)） B. N（mu，sigma^2） C. t(n) D. N（(mu)/(n)，(sigma^2)/(n)）
（单选题，2分）假设总体X服从正态分布$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个样本，则有$\overline{X}\sim（）.$
A. $N（\mu，\frac{\sigma^{2}}{n}）$
B. $N（\mu，\sigma^{2}）$
C. t(n)
D. $N（\frac{\mu}{n}，\frac{\sigma^{2}}{n}）$
A. $N（\mu，\frac{\sigma^{2}}{n}）$
B. $N（\mu，\sigma^{2}）$
C. t(n)
D. $N（\frac{\mu}{n}，\frac{\sigma^{2}}{n}）$
题目解答
答案
样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为：
\[
E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu = \mu
\]
方差为：
\[
D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
\]
由于总体服从正态分布，样本均值也服从正态分布，即：
\[
\overline{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)
\]
因此，正确答案为 $\boxed{A}$。
解析
本题考查样本均值的分布。当总体服从正态分布时，样本均值的分布仍为正态分布，其期望与总体均值相同，方差为总体方差除以样本容量。解题关键在于掌握正态分布下样本均值的期望和方差的计算公式。
样本均值的期望与方差
-
期望计算
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，因此：
$E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$
期望与总体均值相同。 -
方差计算
样本均值的方差为：
$D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
方差为总体方差除以样本容量。
分布形式
由于总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，根据正态分布的性质，样本均值 $\overline{X}$ 仍服从正态分布，参数为：
$\overline{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$
选项分析
- 选项A：正确，符合推导结果。
- 选项B：错误，方差未除以样本容量。
- 选项C：错误，t分布适用于小样本且方差未知的情况，此处总体方差已知且分布为正态。
- 选项D：错误，均值部分错误（应为 $\mu$，而非 $\frac{\mu}{n}$）。