题目
4.设X1,X2,···,Xn为来自正态总体 sim N(0,1) 的简单随机样本, overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) =-|||-sqrt (dfrac {1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2} 则 () .-|||-(A) overline (X)sim N(0,1); (B) overline (X)sim N(0,1);-|||-(C) sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2sim (chi )^2(n-1); (D) sqrt (n)cdot overline (X)/Ssim t(n-1).
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的简单随机样本的均值，因此 $\overline{X}$ 也服从正态分布，但其方差为 $\frac{1}{n}$，即 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。因此，选项 (A) 和 (B) 都不正确。
步骤 2：理解样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的简单随机样本的方差，因此 $(n-1)S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。因此，选项 (C) 不正确。
步骤 3：理解样本均值与样本标准差的比值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 与样本标准差 $S$ 的比值 $\frac{\overline{X}}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$。因此，选项 (D) 正确。
样本均值 $\overline{X}$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的简单随机样本的均值，因此 $\overline{X}$ 也服从正态分布，但其方差为 $\frac{1}{n}$，即 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。因此，选项 (A) 和 (B) 都不正确。
步骤 2：理解样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的简单随机样本的方差，因此 $(n-1)S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。因此，选项 (C) 不正确。
步骤 3：理解样本均值与样本标准差的比值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 与样本标准差 $S$ 的比值 $\frac{\overline{X}}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$。因此，选项 (D) 正确。