4.设X1,X2,···,Xn为来自正态总体 sim N(0,1) 的简单随机样本, overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) =-|||-sqrt (dfrac {1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2} 则 () .-|||-(A) overline (X)sim N(0,1); (B) overline (X)sim N(0,1);-|||-(C) sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2sim (chi )^2(n-1); (D) sqrt (n)cdot overline (X)/Ssim t(n-1).

本题考查正态总体样本均值、样本方差的分布性质，以及卡方分布、t分布的判断。核心思路在于：

1. 样本均值$\overline{X}$的分布：来自$N(0,1)$的样本，$\overline{X} \sim N\left(0, \dfrac{1}{n}\right)$；
2. 样本方差$S^2$的分布：$\dfrac{(n-1)S^2}{1} \sim \chi^2(n-1)$；
3. 独立性：$\overline{X}$与$S^2$独立；
4. t分布构造：$\dfrac{\sqrt{n}\overline{X}}{S}$符合$t(n-1)$分布。

关键点：

• 选项B中$n\overline{X}$实际是$\sum X_i$，其分布为$N(0,n)$，而非$N(0,1)$；
• 选项C中$\sum X_i^2$应服从$\chi^2(n)$，而非$\chi^2(n-1)$；
• 选项D符合t分布的定义。

选项分析

(A) $\overline{X} \sim N(0,1)$

• 错误。$\overline{X}$的方差为$\dfrac{1}{n}$，故$\overline{X} \sim N\left(0, \dfrac{1}{n}\right)$，而非$N(0,1)$。

(B) $n\overline{X} \sim N(0,1)$

• 错误。$n\overline{X} = \sum X_i$，其方差为$n \cdot 1 = n$，故$n\overline{X} \sim N(0,n)$，而非$N(0,1)$。

(C) $\sum X_i^2 \sim \chi^2(n-1)$

• 错误。当$X_i \sim N(0,1)$时，$\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$，自由度为$n$，而非$n-1$。

(D) $\dfrac{\sqrt{n}\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$

• 正确。
  • 分子$\sqrt{n}\overline{X} \sim N(0,1)$；
  • 分母$S$与$\overline{X}$独立，且$\dfrac{(n-1)S^2}{1} \sim \chi^2(n-1)$；
  • 符合t分布的定义，自由度为$n-1$。