某人下午5：00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5：35～5：36 5：40～5：44 5：45～5：49 5：50～5：54 迟于5：54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率．

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与计算。需要结合题目给出的概率分布，正确计算在已知到家时间的情况下选择交通工具的概率。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设事件A为“5:47到家”，事件B为“乘地铁回家”。
2. 应用全概率公式计算$P(A)$，即综合地铁和汽车两种交通工具下到家时间的概率。
3. 计算联合概率$P(AB)$，即选择地铁且到家时间在指定区间的概率。
4. 代入贝叶斯公式，最终求得$P(B|A)$。

破题关键点：

• 正确识别到家时间对应的概率区间：5:47属于“5:45～5:49”时间段。
• 区分交通工具对应的概率：地铁和汽车在该时间段的概率分别为0.45和0.20。
• 硬币决定交通工具的先验概率：选择地铁或汽车的概率均为$\frac{1}{2}$。

步骤1：定义事件与概率

• 事件A：5:47到家。
• 事件B：乘地铁回家。
• 根据题意，选择交通工具的概率为：
  $P(B) = P(\text{乘汽车}) = \frac{1}{2}.$

步骤2：计算全概率$P(A)$
到家时间5:47属于“5:45～5:49”时间段，此时：

• 乘地铁的概率为0.45，乘汽车的概率为0.20。
• 综合两种交通工具的概率：
  $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\neg B)P(\neg B) = \frac{1}{2} \times 0.45 + \frac{1}{2} \times 0.20 = 0.325.$

步骤3：计算联合概率$P(AB)$
选择地铁且到家时间在指定区间的概率为：
$P(AB) = P(A|B)P(B) = \frac{1}{2} \times 0.45 = 0.225.$

步骤4：应用贝叶斯公式
最终求条件概率：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0.225}{0.325} = \frac{9}{13}.$