题目
17.一质量为m的子弹以水平速度v0击中棒中心并插入棒内随棒一起转动,如图所示.求:-|||-(1)细棒获得的角速度.-|||-A-|||-v-|||-m L M-|||-B-|||-第17题图-|||-(2)子弹给细棒的冲量矩.-|||-(3)细棒在竖直平面内转动的最大角度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算细棒获得的角速度
根据角动量守恒定律，子弹击中细棒中心并插入后，系统角动量守恒。子弹的角动量为 $m{v}_{0}\dfrac {L}{2}$，细棒的转动惯量为 $\dfrac {1}{3}M{L}^{2}$，子弹插入后，系统转动惯量为 $\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2}$。因此，根据角动量守恒定律，有：
$$m{v}_{0}\dfrac {L}{2}=(\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2})\omega$$
解得细棒的角速度为：
$$\omega =\dfrac {6m{v}_{0}}{(3m+4M)L}$$
步骤 2：计算子弹给细棒的冲量矩
根据角动量定理，子弹给细棒的冲量矩等于细棒角动量的变化量。细棒角动量的变化量为：
$$\Delta L = I\omega = (\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2})\omega$$
代入角速度 $\omega$ 的表达式，得：
$$\Delta L = (\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2})\dfrac {6m{v}_{0}}{(3m+4M)L}$$
化简得子弹给细棒的冲量矩为：
$$\Delta L = \dfrac {2MmL{v}_{0}}{3m+4M}$$
步骤 3：计算细棒在竖直平面内转动的最大角度
根据机械能守恒定律，子弹击中细棒后，系统机械能守恒。子弹的动能转化为细棒的转动动能和重力势能。细棒的转动动能为：
$$\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{3}{ML}^{2}+\dfrac {m}{4}{L}^{2}){w}^{2}$$
细棒的重力势能为：
$$\dfrac {1}{2}(M+m)gL.(1-\cos \theta )$$
根据机械能守恒定律，有：
$$\dfrac {1}{2}(M+m)gL.(1-\cos \theta ) = \dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{3}{ML}^{2}+\dfrac {m}{4}{L}^{2}){w}^{2}$$
代入角速度 $\omega$ 的表达式，得：
$$\dfrac {1}{2}(M+m)gL.(1-\cos \theta ) = \dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{3}{ML}^{2}+\dfrac {m}{4}{L}^{2})(\dfrac {6m{v}_{0}}{(3m+4M)L})^{2}$$
化简得细棒在竖直平面内转动的最大角度为：
$$\theta = \arcsin [ 1-\dfrac {3{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{(m+M)(3m+4M)gL}]$$
根据角动量守恒定律，子弹击中细棒中心并插入后，系统角动量守恒。子弹的角动量为 $m{v}_{0}\dfrac {L}{2}$，细棒的转动惯量为 $\dfrac {1}{3}M{L}^{2}$，子弹插入后，系统转动惯量为 $\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2}$。因此，根据角动量守恒定律，有：
$$m{v}_{0}\dfrac {L}{2}=(\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2})\omega$$
解得细棒的角速度为：
$$\omega =\dfrac {6m{v}_{0}}{(3m+4M)L}$$
步骤 2：计算子弹给细棒的冲量矩
根据角动量定理，子弹给细棒的冲量矩等于细棒角动量的变化量。细棒角动量的变化量为：
$$\Delta L = I\omega = (\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2})\omega$$
代入角速度 $\omega$ 的表达式，得：
$$\Delta L = (\dfrac {1}{4}m{L}^{2}+\dfrac {1}{3}M{L}^{2})\dfrac {6m{v}_{0}}{(3m+4M)L}$$
化简得子弹给细棒的冲量矩为：
$$\Delta L = \dfrac {2MmL{v}_{0}}{3m+4M}$$
步骤 3：计算细棒在竖直平面内转动的最大角度
根据机械能守恒定律，子弹击中细棒后，系统机械能守恒。子弹的动能转化为细棒的转动动能和重力势能。细棒的转动动能为：
$$\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{3}{ML}^{2}+\dfrac {m}{4}{L}^{2}){w}^{2}$$
细棒的重力势能为：
$$\dfrac {1}{2}(M+m)gL.(1-\cos \theta )$$
根据机械能守恒定律，有：
$$\dfrac {1}{2}(M+m)gL.(1-\cos \theta ) = \dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{3}{ML}^{2}+\dfrac {m}{4}{L}^{2}){w}^{2}$$
代入角速度 $\omega$ 的表达式，得：
$$\dfrac {1}{2}(M+m)gL.(1-\cos \theta ) = \dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{3}{ML}^{2}+\dfrac {m}{4}{L}^{2})(\dfrac {6m{v}_{0}}{(3m+4M)L})^{2}$$
化简得细棒在竖直平面内转动的最大角度为：
$$\theta = \arcsin [ 1-\dfrac {3{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{(m+M)(3m+4M)gL}]$$