题目

2.设随机变量X的分布函数为，由下列函数：,其中a为任意常数，则下列函数位分布函数的是（）.

2.设随机变量X的分布函数为 $F（x）$ ，由下列函数： $F_1(x)=F(ax),F_2(x)=F^3(x),F_3(x)=1-F(-x),F_4(x)=F(x+a)$

,其中a为任意常数，则下列函数位分布函数的是（）.

$\left(A\right)F_1(x),F_2(x)$

$(B) F_1(x),F_3(x)$

$(C) F_2(x),F_4(x)$

$(D)F_1(x),F_4(x)$

题目解答

答案

对于 $F_1（x)=F(ax)$ ，由于a的任意性，所以，当a<0时，则 $F_1(x)$ 不符合有界性，即

$\lim_{x->+\infty}F_1(x)=\lim_{x->+\infty}F(ax)=0$

$\lim_{x->-\infty}F_1(x)=\lim_{x->-\infty}F(ax)=1$

与有界性不符；

对于 $F_2(x)=F^3(x)$ 三条都符合；

对于 $F_3(x)=1-F(-x)$ 不符合右连续性，即

$\lim_{x->x_0^{0+}}F_3(x)=1-\lim_{x->x_0^{0+}}F(-x)=1-\lim_{x->x_0^{0+}}P(X\leq-x)$

其中 $\lim_{x->x_0^{0+}}F(-x)$ 不一定等于 $F(-x_0^{0+})$ ，所以 $F_3(x)$ 不是分布函数。

对于 $F_4(x)=F(x+a)$ 三条均符合。

解析

步骤 1：分析${F}_{1}(x)=F(ax)$
由于a为任意常数，当a<0时，${F}_{1}(x)$的极限值不符合分布函数的有界性，即$\lim _{x\rightarrow +\infty }F(ax)=0$和$\lim _{x\rightarrow -\infty }F(ax)=1$，因此${F}_{1}(x)$不是分布函数。
步骤 2：分析${F}_{2}(x)={F}^{3}(x)$
${F}_{2}(x)$满足分布函数的三条性质：非负性、单调不减性和右连续性，因此${F}_{2}(x)$是分布函数。
步骤 3：分析${F}_{3}(x)=1-{F}_{(x)}$
${F}_{3}(x)$不满足分布函数的右连续性，因此${F}_{3}(x)$不是分布函数。
步骤 4：分析${F}_{4}(x)=F(x+a)$
${F}_{4}(x)$满足分布函数的三条性质：非负性、单调不减性和右连续性，因此${F}_{4}(x)$是分布函数。