题目
设 X_1, X_2, ..., X_(100) 为来自总体 X sim N(0, 4^2) 的样本，overline(X) 表示样本均值，则 overline(X) sim ( ) A. N(0, 16)B. N(0, 0.16)C. N(0, 0.04)D. N(0, 1.6)
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X \sim N(0, 4^2)$ 的样本，$\overline{X}$ 表示样本均值，则 $\overline{X} \sim (\quad)$
- A. $N(0, 16)$
- B. $N(0, 0.16)$
- C. $N(0, 0.04)$
- D. $N(0, 1.6)$
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(0, 4^2)$，即 $X \sim N(0, 16)$。
样本均值 $\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X}) = E(X) = 0$，
方差 $D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{16}{100} = 0.16$。
因此，$\overline{X} \sim N(0, 0.16)$，答案为 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：确定总体分布
已知总体 $X \sim N(0, 4^2)$，即 $X \sim N(0, 16)$。这意味着总体的均值为 $0$，方差为 $16$。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值 $\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X}) = E(X) = 0$，因为样本均值的期望值等于总体的均值。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差 $D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{16}{100} = 0.16$，其中 $n$ 是样本容量，这里是 $100$。
步骤 4：确定样本均值的分布
由于总体 $X$ 服从正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(0, 0.16)$。
已知总体 $X \sim N(0, 4^2)$，即 $X \sim N(0, 16)$。这意味着总体的均值为 $0$，方差为 $16$。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值 $\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X}) = E(X) = 0$，因为样本均值的期望值等于总体的均值。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差 $D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{16}{100} = 0.16$，其中 $n$ 是样本容量，这里是 $100$。
步骤 4：确定样本均值的分布
由于总体 $X$ 服从正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(0, 0.16)$。