题目
4.已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(mu,sigma^2)，其标准差σ根据以往资料暂定为0.048，某日抽取5根维尼纶，测得纤度分别为：1.321.55 1.36 1.40 2.44.试问这天纤度总体的方差sigma^2有无显著变化(a=0.10)?
4.已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其标准差σ根据以往资料暂定为0.048，某日抽取5根维尼纶，测得纤度分别为：1.32
1.55 1.36 1.40 2.44.试问这天纤度总体的方差$\sigma^{2}$有无显著变化(a=0.10)?
题目解答
答案
1. **假设检验**：
$H_0: \sigma^2 = 0.002304$（原假设），$H_1: \sigma^2 \neq 0.002304$（备择假设）。
2. **计算样本方差**：
样本数据：1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44。
样本均值 $\overline{x} = 1.414$。
样本方差 $s^2 = 0.00778$。
3. **计算检验统计量**：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{4 \times 0.00778}{0.002304} \approx 0.6483$。
4. **确定临界值**：
对于 $\alpha = 0.10$，自由度 $n-1 = 4$，
$\chi^2_{0.05}(4) = 9.488$，$\chi^2_{0.95}(4) = 0.711$。
5. **结论**：
$\chi^2 = 0.6483 < 0.711$，拒绝 $H_0$。
**答案**：
\[
\boxed{\text{有显著变化}}
\]
解析
步骤 1：假设检验
- 原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.002304$（标准差的平方，即方差）。
- 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.002304$。
步骤 2：计算样本方差
- 样本数据：1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 2.44。
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{1.32 + 1.55 + 1.36 + 1.40 + 2.44}{5} = 1.614$。
- 样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{4} \left[(1.32 - 1.614)^2 + (1.55 - 1.614)^2 + (1.36 - 1.614)^2 + (1.40 - 1.614)^2 + (2.44 - 1.614)^2\right] = 0.00778$。
步骤 3：计算检验统计量
- $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{4 \times 0.00778}{0.002304} \approx 0.6483$。
步骤 4：确定临界值
- 对于 $\alpha = 0.10$，自由度 $n-1 = 4$，$\chi^2_{0.05}(4) = 9.488$，$\chi^2_{0.95}(4) = 0.711$。
步骤 5：结论
- $\chi^2 = 0.6483 < 0.711$，拒绝 $H_0$。
- 原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.002304$（标准差的平方，即方差）。
- 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.002304$。
步骤 2：计算样本方差
- 样本数据：1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 2.44。
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{1.32 + 1.55 + 1.36 + 1.40 + 2.44}{5} = 1.614$。
- 样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{4} \left[(1.32 - 1.614)^2 + (1.55 - 1.614)^2 + (1.36 - 1.614)^2 + (1.40 - 1.614)^2 + (2.44 - 1.614)^2\right] = 0.00778$。
步骤 3：计算检验统计量
- $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{4 \times 0.00778}{0.002304} \approx 0.6483$。
步骤 4：确定临界值
- 对于 $\alpha = 0.10$，自由度 $n-1 = 4$，$\chi^2_{0.05}(4) = 9.488$，$\chi^2_{0.95}(4) = 0.711$。
步骤 5：结论
- $\chi^2 = 0.6483 < 0.711$，拒绝 $H_0$。