题目
某次竞赛中甲、乙两小组的成绩如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已知算得两组的平均分都是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩哪一组好些，哪一组稍差，请说明理由.
某次竞赛中甲、乙两小组的成绩如下表：
| 分数 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | |
| 人数 | 甲组 | 2 | 5 | 10 | 13 | 14 | 6 |
| 乙组 | 4 | 4 | 16 | 2 | 12 | 12 | |
已知算得两组的平均分都是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩哪一组好些，哪一组稍差，请说明理由.
题目解答
答案
解：
(1)从成绩统计表可知，甲乙两组的人数均为50人，甲乙两组成绩的平均数都是80分，即甲的平均成绩与乙的平均成绩相等，从成绩统计表可知，甲组和乙组的中位数均为80，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人即从这一角度看甲组的成绩总体较好
(2)甲组成绩的方差为
计算，得
172
乙组成绩的方差为
计算，得
256
即甲组成绩的方差＜乙组成绩的方差
所以从波动大小看，甲组的成绩较好
(3)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分的有20人，乙组成绩高于90分的有24人，且乙组得满分的人数比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好
解析
步骤 1：计算甲组和乙组的中位数
- 甲组和乙组的人数均为50人，中位数是第25和第26个数据的平均值。
- 甲组的第25和第26个数据都是80分，因此甲组的中位数是80分。
- 乙组的第25和第26个数据都是70分，因此乙组的中位数是70分。
步骤 2：计算甲组和乙组的方差
- 甲组的方差计算如下：
- 首先计算每个分数与平均分80分的差的平方，然后乘以该分数的人数，最后求和并除以总人数。
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[2(50-80)^2 + 5(60-80)^2 + 10(70-80)^2 + 13(80-80)^2 + 14(90-80)^2 + 6(100-80)^2\right]$
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[2(900) + 5(400) + 10(100) + 13(0) + 14(100) + 6(400)\right]$
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[1800 + 2000 + 1000 + 0 + 1400 + 2400\right]$
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[8600\right]$
- $S_{甲}^2 = 172$
- 乙组的方差计算如下：
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[4(50-80)^2 + 4(60-80)^2 + 16(70-80)^2 + 2(80-80)^2 + 12(90-80)^2 + 12(100-80)^2\right]$
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[4(900) + 4(400) + 16(100) + 2(0) + 12(100) + 12(400)\right]$
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[3600 + 1600 + 1600 + 0 + 1200 + 4800\right]$
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[12800\right]$
- $S_{乙}^2 = 256$
步骤 3：比较甲组和乙组的成绩
- 甲组的中位数为80分，乙组的中位数为70分，说明甲组的成绩整体上比乙组好。
- 甲组的方差为172，乙组的方差为256，说明甲组的成绩波动较小，成绩更稳定。
- 甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，说明甲组成绩在80分以上的人数更多。
- 甲组成绩高于90分的有20人，乙组成绩高于90分的有24人，且乙组得满分的人数比甲组多6人，说明乙组在高分段的成绩稍好。
- 甲组和乙组的人数均为50人，中位数是第25和第26个数据的平均值。
- 甲组的第25和第26个数据都是80分，因此甲组的中位数是80分。
- 乙组的第25和第26个数据都是70分，因此乙组的中位数是70分。
步骤 2：计算甲组和乙组的方差
- 甲组的方差计算如下：
- 首先计算每个分数与平均分80分的差的平方，然后乘以该分数的人数，最后求和并除以总人数。
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[2(50-80)^2 + 5(60-80)^2 + 10(70-80)^2 + 13(80-80)^2 + 14(90-80)^2 + 6(100-80)^2\right]$
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[2(900) + 5(400) + 10(100) + 13(0) + 14(100) + 6(400)\right]$
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[1800 + 2000 + 1000 + 0 + 1400 + 2400\right]$
- $S_{甲}^2 = \frac{1}{50} \left[8600\right]$
- $S_{甲}^2 = 172$
- 乙组的方差计算如下：
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[4(50-80)^2 + 4(60-80)^2 + 16(70-80)^2 + 2(80-80)^2 + 12(90-80)^2 + 12(100-80)^2\right]$
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[4(900) + 4(400) + 16(100) + 2(0) + 12(100) + 12(400)\right]$
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[3600 + 1600 + 1600 + 0 + 1200 + 4800\right]$
- $S_{乙}^2 = \frac{1}{50} \left[12800\right]$
- $S_{乙}^2 = 256$
步骤 3：比较甲组和乙组的成绩
- 甲组的中位数为80分，乙组的中位数为70分，说明甲组的成绩整体上比乙组好。
- 甲组的方差为172，乙组的方差为256，说明甲组的成绩波动较小，成绩更稳定。
- 甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，说明甲组成绩在80分以上的人数更多。
- 甲组成绩高于90分的有20人，乙组成绩高于90分的有24人，且乙组得满分的人数比甲组多6人，说明乙组在高分段的成绩稍好。