题目
某批产品的次品率为0.1，连续抽取10000件，ξ表示其中的次品数，试用中心极限定理计算P(970＜ξ＜1030)=______．已知，Φ（1）=0.8413，Φ（2）=0.9772． .
某批产品的次品率为0.1，连续抽取10000件，ξ表示其中的次品数，试用中心极限定理计算P{970＜ξ＜1030}=______．已知，Φ（1）=0.8413，Φ（2）=0.9772．
.题目解答
答案
由题意，ξ～b（10000，0.1）
∴Eξ=10000×0.1=1000
Dξ=10000×0.1×0.9=900
∴由中心极限定理，知
＝
近似服从标准正态分布
∴P{970＜ξ＜1030}=P(|
|≤1)＝2Φ(1)−1＝0.6826
∴Eξ=10000×0.1=1000
Dξ=10000×0.1×0.9=900
∴由中心极限定理，知
| ξ−Eξ | ||
|
| ξ−1000 |
| 30 |
∴P{970＜ξ＜1030}=P(|
| ξ−1000 |
| 30 |
解析
步骤 1：确定随机变量ξ的分布
ξ表示10000件产品中的次品数，由于每件产品是否为次品是独立的，且次品率为0.1，因此ξ服从二项分布，即ξ～b（10000，0.1）。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布b(n, p)，其期望Eξ=np，方差Dξ=np(1-p)。因此，对于ξ～b（10000，0.1），我们有：
Eξ=10000×0.1=1000
Dξ=10000×0.1×0.9=900
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，ξ近似服从正态分布N(1000, 900)。为了计算P{970＜ξ＜1030}，我们需要将ξ标准化，即计算：
P(970＜ξ＜1030) = P(970-1000＜ξ-1000＜1030-1000) = P(-30＜ξ-1000＜30)
标准化后，我们得到：
P(-30＜ξ-1000＜30) = P(-30/√900＜(ξ-1000)/√900＜30/√900) = P(-1＜Z＜1)
其中Z是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，Φ(1) = 0.8413，因此：
P(-1＜Z＜1) = 2Φ(1) - 1 = 2×0.8413 - 1 = 0.6826
ξ表示10000件产品中的次品数，由于每件产品是否为次品是独立的，且次品率为0.1，因此ξ服从二项分布，即ξ～b（10000，0.1）。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布b(n, p)，其期望Eξ=np，方差Dξ=np(1-p)。因此，对于ξ～b（10000，0.1），我们有：
Eξ=10000×0.1=1000
Dξ=10000×0.1×0.9=900
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，ξ近似服从正态分布N(1000, 900)。为了计算P{970＜ξ＜1030}，我们需要将ξ标准化，即计算：
P(970＜ξ＜1030) = P(970-1000＜ξ-1000＜1030-1000) = P(-30＜ξ-1000＜30)
标准化后，我们得到：
P(-30＜ξ-1000＜30) = P(-30/√900＜(ξ-1000)/√900＜30/√900) = P(-1＜Z＜1)
其中Z是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，Φ(1) = 0.8413，因此：
P(-1＜Z＜1) = 2Φ(1) - 1 = 2×0.8413 - 1 = 0.6826