一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5t的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用正态分布解决实际概率问题。
解题核心思路：

1. 将每箱重量视为独立同分布的随机变量，总重量服从正态分布（由中心极限定理）；
2. 通过标准化将总重量转化为标准正态分布，结合概率要求确定临界值；
3. 建立不等式求解最大箱数。
   破题关键点：

• 正确应用中心极限定理，确定总重量的均值和方差；
• 单位统一（5吨=5000千克）；
• 准确查标准正态分布表，找到对应概率的临界Z值。

设每箱重量为$X_i$（$i=1,2,\dots,n$），总重量为$T_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$。根据题意：

• 均值：$E(X_i) = 50$ kg，总重量均值为$E(T_n) = 50n$；
• 方差：$D(X_i) = 5^2 = 25$，总重量方差为$D(T_n) = 25n$。

应用中心极限定理：
$T_n$近似服从正态分布$N(50n, 25n)$。

标准化处理：
$Z = \frac{T_n - 50n}{\sqrt{25n}} \sim N(0,1)$

概率条件：
要求$P(T_n \leq 5000) > 0.977$，即：
$P\left( \frac{T_n - 50n}{\sqrt{25n}} \leq \frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}} \right) > 0.977$

查标准正态分布表：
当概率为$0.977$时，对应$Z \approx 2$（因$\Phi(2) = 0.9772$）。因此：
$\frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}} \geq 2$

解不等式：

1. 两边平方：
   $(5000 - 50n)^2 \geq 4 \cdot 25n$
2. 展开整理：
   $2500n^2 - 500000n + 25000000 \geq 100n$
   $2500n^2 - 500100n + 25000000 \geq 0$
3. 解二次方程得：
   $n \leq \frac{500100}{5000} \approx 98.0199$
   取整数解，得$n = 98$。