题目
一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5t的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.
一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5t的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.
题目解答
答案
解设Xi(i=1,2,…,n)是装运的第i箱的重量(单位:kg),n是所求箱数.由条件可以把X1,X2,…,Xn视为独立同分布随机变量,而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和.由条件知(单位:kg).根据列维-林德伯格中心极限定理,Tn近似服从正态分布N(50n,25n).箱数n决定于条件由此可见从而n<98.0199,即最多可以装98箱.
解析
步骤 1：定义随机变量
设 \(X_i\) (i=1,2,…,n) 是装运的第 i 箱的重量（单位：kg），n 是所求箱数。由条件可以把 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 视为独立同分布随机变量，而 n 箱的总重量 \(T_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\) 是独立同分布随机变量之和。
步骤 2：计算期望和方差
由条件知，每箱的平均重量为 50kg，标准差为 5kg。因此，\(E(X_i) = 50\)，\(Var(X_i) = 25\)。根据独立同分布随机变量之和的性质，\(E(T_n) = nE(X_i) = 50n\)，\(Var(T_n) = nVar(X_i) = 25n\)。
步骤 3：应用中心极限定理
根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 足够大时，\(T_n\) 近似服从正态分布 \(N(50n, 25n)\)。为了保证不超载的概率大于 0.977，即 \(P(T_n \leq 5000) > 0.977\)，我们需要找到满足条件的最大 n 值。
步骤 4：计算概率
将 \(T_n\) 标准化，得到 \(Z = \frac{T_n - 50n}{\sqrt{25n}}\)，则 \(Z\) 服从标准正态分布 \(N(0,1)\)。因此，\(P(T_n \leq 5000) = P\left(Z \leq \frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}}\right) > 0.977\)。查标准正态分布表，得到 \(P(Z \leq 2) \approx 0.977\)，因此 \(\frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}} \geq 2\)。
步骤 5：求解不等式
解不等式 \(\frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}} \geq 2\)，得到 \(5000 - 50n \geq 2\sqrt{25n}\)，即 \(5000 - 50n \geq 10\sqrt{n}\)。进一步化简得到 \(500 - 5n \geq \sqrt{n}\)，即 \(500 - 5n - \sqrt{n} \geq 0\)。解这个不等式，得到 \(n < 98.0199\)。
设 \(X_i\) (i=1,2,…,n) 是装运的第 i 箱的重量（单位：kg），n 是所求箱数。由条件可以把 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 视为独立同分布随机变量，而 n 箱的总重量 \(T_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\) 是独立同分布随机变量之和。
步骤 2：计算期望和方差
由条件知，每箱的平均重量为 50kg，标准差为 5kg。因此，\(E(X_i) = 50\)，\(Var(X_i) = 25\)。根据独立同分布随机变量之和的性质，\(E(T_n) = nE(X_i) = 50n\)，\(Var(T_n) = nVar(X_i) = 25n\)。
步骤 3：应用中心极限定理
根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 足够大时，\(T_n\) 近似服从正态分布 \(N(50n, 25n)\)。为了保证不超载的概率大于 0.977，即 \(P(T_n \leq 5000) > 0.977\)，我们需要找到满足条件的最大 n 值。
步骤 4：计算概率
将 \(T_n\) 标准化，得到 \(Z = \frac{T_n - 50n}{\sqrt{25n}}\)，则 \(Z\) 服从标准正态分布 \(N(0,1)\)。因此，\(P(T_n \leq 5000) = P\left(Z \leq \frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}}\right) > 0.977\)。查标准正态分布表，得到 \(P(Z \leq 2) \approx 0.977\)，因此 \(\frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}} \geq 2\)。
步骤 5：求解不等式
解不等式 \(\frac{5000 - 50n}{\sqrt{25n}} \geq 2\)，得到 \(5000 - 50n \geq 2\sqrt{25n}\)，即 \(5000 - 50n \geq 10\sqrt{n}\)。进一步化简得到 \(500 - 5n \geq \sqrt{n}\)，即 \(500 - 5n - \sqrt{n} \geq 0\)。解这个不等式，得到 \(n < 98.0199\)。