题目
25.圆轴受力如图所示,已知轴的直径为d,长度为2a,切变模量为G,均布扭转力偶的集-|||-度m与集中力偶M。的关系为 =dfrac (2{M)_(e)}(a) ,试求截面B相对截面A的相对扭转角φAB。-|||-4 m 2M M-|||-4.4.4.-|||-d-|||-A B C-|||-a a-|||-题25图
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立扭矩方程
- 对于AB段，扭矩方程为 $T(x)=Me(\dfrac {2x}{a}-1)$，其中 $x∈(0,a)$。
- 对于BC段，扭矩方程为 $T(x)=-Me$，其中 $x∈(a,2a)$。
步骤 2：计算相对扭转角
- 相对扭转角 $\varphi_{AB}$ 可以通过积分扭矩方程得到，即 $\varphi_{AB}={\int }_{0}^{a}\dfrac {T(x)}{G{I}_{p}}dx$。
- 其中，$I_p$ 是极惯性矩，对于圆轴，$I_p=\dfrac {\pi d^4}{32}$。
- 将扭矩方程代入积分公式，得到 $\varphi_{AB}=\dfrac {M_e}{G{I}_{p}}{\int }_{0}^{a}(\dfrac {2x}{a}-1)dx$。
- 计算积分，得到 $\varphi_{AB}=\dfrac {M_e}{G{I}_{p}}\left[\dfrac {x^2}{a}-x\right]_{0}^{a}=\dfrac {M_e}{G{I}_{p}}\left[\dfrac {a^2}{a}-a\right]=0$。
- 对于AB段，扭矩方程为 $T(x)=Me(\dfrac {2x}{a}-1)$，其中 $x∈(0,a)$。
- 对于BC段，扭矩方程为 $T(x)=-Me$，其中 $x∈(a,2a)$。
步骤 2：计算相对扭转角
- 相对扭转角 $\varphi_{AB}$ 可以通过积分扭矩方程得到，即 $\varphi_{AB}={\int }_{0}^{a}\dfrac {T(x)}{G{I}_{p}}dx$。
- 其中，$I_p$ 是极惯性矩，对于圆轴，$I_p=\dfrac {\pi d^4}{32}$。
- 将扭矩方程代入积分公式，得到 $\varphi_{AB}=\dfrac {M_e}{G{I}_{p}}{\int }_{0}^{a}(\dfrac {2x}{a}-1)dx$。
- 计算积分，得到 $\varphi_{AB}=\dfrac {M_e}{G{I}_{p}}\left[\dfrac {x^2}{a}-x\right]_{0}^{a}=\dfrac {M_e}{G{I}_{p}}\left[\dfrac {a^2}{a}-a\right]=0$。