题目
设总体X的概率密度为 (x;theta )= ) (e)^-(x-theta ), xgeqslant theta 0, xlt theta . 而X1,X2,···,Xn是来自总体X的简-|||-,-|||-单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为 __ -.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
根据给定的概率密度函数，计算总体X的期望值EX。由于概率密度函数在x < θ时为0，因此积分范围从θ开始。
\[ EX = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx \]
步骤 2：计算积分
将积分中的指数项进行展开，得到：
\[ EX = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-x} e^{\theta} dx = e^{\theta} \int_{\theta}^{\infty} x e^{-x} dx \]
步骤 3：利用分部积分法计算积分
利用分部积分法，设u = x，dv = e^{-x} dx，则du = dx，v = -e^{-x}。代入分部积分公式：
\[ EX = e^{\theta} \left[ -x e^{-x} \Big|_{\theta}^{\infty} + \int_{\theta}^{\infty} e^{-x} dx \right] \]
\[ EX = e^{\theta} \left[ 0 + \theta e^{-\theta} + e^{-\theta} \right] = \theta + 1 \]
步骤 4：根据矩估计量的定义，求解θ的矩估计量
根据矩估计量的定义，令总体X的期望值等于样本均值，即EX = $\overline{X}$，得到：
\[ \theta + 1 = \overline{X} \]
\[ \hat{\theta} = \overline{X} - 1 \]
根据给定的概率密度函数，计算总体X的期望值EX。由于概率密度函数在x < θ时为0，因此积分范围从θ开始。
\[ EX = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx \]
步骤 2：计算积分
将积分中的指数项进行展开，得到：
\[ EX = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-x} e^{\theta} dx = e^{\theta} \int_{\theta}^{\infty} x e^{-x} dx \]
步骤 3：利用分部积分法计算积分
利用分部积分法，设u = x，dv = e^{-x} dx，则du = dx，v = -e^{-x}。代入分部积分公式：
\[ EX = e^{\theta} \left[ -x e^{-x} \Big|_{\theta}^{\infty} + \int_{\theta}^{\infty} e^{-x} dx \right] \]
\[ EX = e^{\theta} \left[ 0 + \theta e^{-\theta} + e^{-\theta} \right] = \theta + 1 \]
步骤 4：根据矩估计量的定义，求解θ的矩估计量
根据矩估计量的定义，令总体X的期望值等于样本均值，即EX = $\overline{X}$，得到：
\[ \theta + 1 = \overline{X} \]
\[ \hat{\theta} = \overline{X} - 1 \]