题目
设二维随机变量（X,Y）有联合分布律：YX 0 1 2-|||-0 0.1 0.3 0.2-|||-1 0.2 0.1 0.1（1）求Cov(X,Y)（2）判断相关性
设二维随机变量（X,Y）有联合分布律：
（1）求Cov(X,Y)
（2）判断相关性
题目解答
答案
XY的取值为0,1,2
P(XY=0)=0.8
P(XY=1)=0.1
P(XY=2)=0.1
E(XY)=0+0.1+0.2=0.3
E(X)=0+0.4+0.6=1
E(
)=0.4+1.2=1.6
D(X)=0.6
E(Y)=0+0.4=0.4
D(Y)=0.4-0.16=0.24
Cov(XY)=E(XY)-EXEY=0.3-0.4=-0.1
证明二者弱相关。
解析
步骤 1：计算E(XY)
根据联合分布律，计算XY的期望值E(XY)。XY的取值为0,1,2，对应的概率分别为0.8,0.1,0.1。因此，E(XY) = 0*0.8 + 1*0.1 + 2*0.1 = 0.3。
步骤 2：计算E(X)和E(Y)
根据联合分布律，计算X和Y的期望值E(X)和E(Y)。X的取值为0,1，对应的概率分别为0.6,0.4。因此，E(X) = 0*0.6 + 1*0.4 = 0.4。Y的取值为0,1,2，对应的概率分别为0.3,0.4,0.3。因此，E(Y) = 0*0.3 + 1*0.4 + 2*0.3 = 1。
步骤 3：计算Cov(X,Y)
根据Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，代入E(XY) = 0.3，E(X) = 0.4，E(Y) = 1，得到Cov(X,Y) = 0.3 - 0.4*1 = -0.1。
步骤 4：判断相关性
根据相关系数的定义，计算相关系数${x}_{axy}=\dfrac {Cov(X,Y)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Y)}}$。其中，D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.6 - 0.4^2 = 0.44，D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 1.4 - 1^2 = 0.4。因此，${x}_{axy}=\dfrac {-0.1}{\sqrt {0.44}\sqrt {0.4}}=-0.2$。由于相关系数的绝对值小于1，说明X和Y弱相关。
根据联合分布律，计算XY的期望值E(XY)。XY的取值为0,1,2，对应的概率分别为0.8,0.1,0.1。因此，E(XY) = 0*0.8 + 1*0.1 + 2*0.1 = 0.3。
步骤 2：计算E(X)和E(Y)
根据联合分布律，计算X和Y的期望值E(X)和E(Y)。X的取值为0,1，对应的概率分别为0.6,0.4。因此，E(X) = 0*0.6 + 1*0.4 = 0.4。Y的取值为0,1,2，对应的概率分别为0.3,0.4,0.3。因此，E(Y) = 0*0.3 + 1*0.4 + 2*0.3 = 1。
步骤 3：计算Cov(X,Y)
根据Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)，代入E(XY) = 0.3，E(X) = 0.4，E(Y) = 1，得到Cov(X,Y) = 0.3 - 0.4*1 = -0.1。
步骤 4：判断相关性
根据相关系数的定义，计算相关系数${x}_{axy}=\dfrac {Cov(X,Y)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Y)}}$。其中，D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.6 - 0.4^2 = 0.44，D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 1.4 - 1^2 = 0.4。因此，${x}_{axy}=\dfrac {-0.1}{\sqrt {0.44}\sqrt {0.4}}=-0.2$。由于相关系数的绝对值小于1，说明X和Y弱相关。