题目
设sim N(mu ,1),Ysim (X)^2(4), 且X和Y相互独立, 令sim N(mu ,1),Ysim (X)^2(4) , 判断T服从何分后,给出判断过程。
设
, 且X和Y相互独立, 令
, 判断T服从何分后,给出判断过程。
题目解答
答案
我们可以按照以下步骤来判断T服从何种分布：
第一步，由题目信息，我们知道
，即X是均值为
，方差为1的正态分布。
第二步，根据题目，
，即Y是自由度为4的卡方分布。
第三步，由于X和Y相互独立，我们可以利用这一性质来推导T的分布。
第四步，根据T的表达式，我们可以发现它具有t分布的形式。在统计学中，t分布通常用于小样本情况下，当样本量足够大时，t分布趋近于正态分布。而在这里，由于Y是自由度为4的卡方分布，可以看作是4个标准正态随机变量的平方和，这与t分布的定义相符合。
第五步，根据t分布的定义，如果
，且Z和V相互独立，那么
服从自由度为n的t分布。在本题中，我们可以将
看作是标准正态随机变量（因为
，Y看作是自由度为4的卡方分布随机变量。因此，可以看作是
的形式，其中
（因为线性变换不改变正态分布的形态，只会改变其均值和方差），
。
第六步，根据第五步的推导，我们可以得出T服从自由度为4的t分布，即
。
综上，我们可以判断T服从自由度为4的t分布。
解析
步骤 1：理解随机变量X和Y的分布
$X\sim N(\mu ,1)$，即X是均值为$\mu$，方差为1的正态分布。
$Y\sim {X}^{2}(4)$，即Y是自由度为4的卡方分布。
步骤 2：利用X和Y的独立性
由于X和Y相互独立，我们可以利用这一性质来推导T的分布。
步骤 3：分析T的表达式
$T=\dfrac {2(X-\mu )}{\sqrt {Y}}$，我们可以发现它具有t分布的形式。在统计学中，t分布通常用于小样本情况下，当样本量足够大时，t分布趋近于正态分布。而在这里，由于Y是自由度为4的卡方分布，可以看作是4个标准正态随机变量的平方和，这与t分布的定义相符合。
步骤 4：将T的表达式与t分布的定义进行对比
根据t分布的定义，如果$Z\sim N(0,1)$, $V\sim {x}^{2}(n)$，且Z和V相互独立，那么$\dfrac {Z}{\sqrt {V/n}}$服从自由度为n的t分布。在本题中，我们可以将$X-\mu$看作是标准正态随机变量（因为$X\sim N(\mu ,1)$），Y看作是自由度为4的卡方分布随机变量。因此，$T=\dfrac {2(X-\mu )}{\sqrt {Y}}$可以看作是$T=\dfrac {2Z}{\sqrt {V/4}}$的形式，其中$Z=X-\mu \sim N(0,1)$（因为线性变换不改变正态分布的形态，只会改变其均值和方差），$Y=Y\sim {X}^{2}(4)$。
步骤 5：得出结论
根据步骤4的推导，我们可以得出T服从自由度为4的t分布。
$X\sim N(\mu ,1)$，即X是均值为$\mu$，方差为1的正态分布。
$Y\sim {X}^{2}(4)$，即Y是自由度为4的卡方分布。
步骤 2：利用X和Y的独立性
由于X和Y相互独立，我们可以利用这一性质来推导T的分布。
步骤 3：分析T的表达式
$T=\dfrac {2(X-\mu )}{\sqrt {Y}}$，我们可以发现它具有t分布的形式。在统计学中，t分布通常用于小样本情况下，当样本量足够大时，t分布趋近于正态分布。而在这里，由于Y是自由度为4的卡方分布，可以看作是4个标准正态随机变量的平方和，这与t分布的定义相符合。
步骤 4：将T的表达式与t分布的定义进行对比
根据t分布的定义，如果$Z\sim N(0,1)$, $V\sim {x}^{2}(n)$，且Z和V相互独立，那么$\dfrac {Z}{\sqrt {V/n}}$服从自由度为n的t分布。在本题中，我们可以将$X-\mu$看作是标准正态随机变量（因为$X\sim N(\mu ,1)$），Y看作是自由度为4的卡方分布随机变量。因此，$T=\dfrac {2(X-\mu )}{\sqrt {Y}}$可以看作是$T=\dfrac {2Z}{\sqrt {V/4}}$的形式，其中$Z=X-\mu \sim N(0,1)$（因为线性变换不改变正态分布的形态，只会改变其均值和方差），$Y=Y\sim {X}^{2}(4)$。
步骤 5：得出结论
根据步骤4的推导，我们可以得出T服从自由度为4的t分布。