题目
[题目]-|||-设随机变量X和Y相互独立且同分布,记 U=X-Y =-|||-X+Y ,则随机变量U与V必然 ()-|||-(A)不相互独立; (B)相互独立;-|||-(C)相关系数不为零; (D)相关系数为零.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算协方差
由于X和Y相互独立且同分布，我们首先计算U和V的协方差。协方差定义为：
\[ COV(U,V) = E(UV) - E(U)E(V) \]
步骤 2：计算E(UV)
\[ E(UV) = E((X-Y)(X+Y)) = E(X^2 - Y^2) = E(X^2) - E(Y^2) \]
由于X和Y同分布，所以\[ E(X^2) = E(Y^2) \]，因此\[ E(UV) = 0 \]。
步骤 3：计算E(U)和E(V)
\[ E(U) = E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 0 \]
\[ E(V) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2E(X) \]
步骤 4：计算协方差
\[ COV(U,V) = E(UV) - E(U)E(V) = 0 - 0 \times 2E(X) = 0 \]
步骤 5：计算相关系数
\[ \rho_{UV} = \frac{COV(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{0}{\sqrt{D(U)D(V)}} = 0 \]
由于X和Y相互独立且同分布，我们首先计算U和V的协方差。协方差定义为：
\[ COV(U,V) = E(UV) - E(U)E(V) \]
步骤 2：计算E(UV)
\[ E(UV) = E((X-Y)(X+Y)) = E(X^2 - Y^2) = E(X^2) - E(Y^2) \]
由于X和Y同分布，所以\[ E(X^2) = E(Y^2) \]，因此\[ E(UV) = 0 \]。
步骤 3：计算E(U)和E(V)
\[ E(U) = E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 0 \]
\[ E(V) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2E(X) \]
步骤 4：计算协方差
\[ COV(U,V) = E(UV) - E(U)E(V) = 0 - 0 \times 2E(X) = 0 \]
步骤 5：计算相关系数
\[ \rho_{UV} = \frac{COV(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{0}{\sqrt{D(U)D(V)}} = 0 \]