设随机变量_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)相互独立，且_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)都服从参数为_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的指数分布，则当n充分大时，随机变量_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的概率分布近似服从（）。A._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)B._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)C._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)D._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及指数分布的期望与方差的计算。

解题核心思路：

1. 确定指数分布的参数：题目中给出指数分布的参数为$\dfrac{1}{3}$，需明确指数分布的期望和方差的公式。
2. 计算样本均值的期望与方差：根据独立同分布随机变量的性质，样本均值的期望等于原分布的期望，方差为原分布的方差除以样本量$n$。
3. 应用中心极限定理：当$n$充分大时，样本均值的分布近似服从正态分布，从而确定$Z_n$的分布参数。

破题关键点：

• 指数分布的期望与方差：若$X \sim \text{指数分布}(\lambda)$，则$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$，$D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$。
• 样本均值的方差：$\text{Var}\left(\dfrac{1}{n}\sum X_i\right) = \dfrac{\text{Var}(X)}{n}$。

步骤1：计算指数分布的期望与方差

已知$X_i$服从参数为$\dfrac{1}{3}$的指数分布，即$\lambda = \dfrac{1}{3}$，因此：

• 期望：$E(X_i) = \dfrac{1}{\lambda} = 3$；
• 方差：$D(X_i) = \dfrac{1}{\lambda^2} = 9$。

步骤2：计算样本均值的期望与方差

样本均值$Z_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$的期望和方差为：

• 期望：$E(Z_n) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \dfrac{1}{n} \cdot n \cdot 3 = 3$；
• 方差：$D(Z_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \dfrac{1}{n^2} \cdot n \cdot 9 = \dfrac{9}{n}$。

步骤3：应用中心极限定理

当$n$充分大时，$Z_n$近似服从正态分布，即：
$Z_n \sim N\left(3, \dfrac{9}{n}\right)$

选项分析

• 选项B：$N\left(3, \dfrac{9}{n}\right)$，与推导结果一致；
• 其余选项均不符合期望或方差的计算结果。