题目
下列命题中正确的是（ ）（A）若，则；（B）若，则；（C）若服从区间上均匀分布，则；（D）若服从参数为的指数分布，则。
下列命题中正确的是（ ）
（A）若
，则
；
（B）若
，则
；
（C）若
服从区间
上均匀分布，则
；
（D）若服从参数为
的指数分布，则
。
题目解答
答案
选项A：若，即泊松分布，
所以
，，正确。
选项B：若，即二项分布，
所以
，
，正确。
选项C：服从区间上均匀分布，即均匀分布，
所以
，
，所以错误。
选项D：若服从参数为的指数分布，即指数分布，
所以
，
，所以错误。
综合以上，故答案为A和B。
解析
步骤 1：分析选项A
若$(X)d\sim X$，即$X$服从泊松分布，泊松分布的期望和方差相等，即$E(X)=D(X)=\lambda$。因此，若$Y=(X)Q$，则$Y$也服从泊松分布，且$E(Y)=D(Y)=\lambda$。所以选项A正确。
步骤 2：分析选项B
若$X\sim b(1,\theta )$，即$X$服从二项分布，其中$n=1$，$p=\theta$。二项分布的期望$E(X)=np=\theta$，方差$D(X)=np(1-p)=\theta(1-\theta)$。所以选项B正确。
步骤 3：分析选项C
若$X$服从区间$[a,b]$上的均匀分布，其期望$E(X)=\frac{a+b}{2}$，方差$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$。$E(X^2)$可以通过$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$计算，即$E(X^2)=\frac{(b-a)^2}{12}+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$。所以选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，其期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。所以选项D错误。
若$(X)d\sim X$，即$X$服从泊松分布，泊松分布的期望和方差相等，即$E(X)=D(X)=\lambda$。因此，若$Y=(X)Q$，则$Y$也服从泊松分布，且$E(Y)=D(Y)=\lambda$。所以选项A正确。
步骤 2：分析选项B
若$X\sim b(1,\theta )$，即$X$服从二项分布，其中$n=1$，$p=\theta$。二项分布的期望$E(X)=np=\theta$，方差$D(X)=np(1-p)=\theta(1-\theta)$。所以选项B正确。
步骤 3：分析选项C
若$X$服从区间$[a,b]$上的均匀分布，其期望$E(X)=\frac{a+b}{2}$，方差$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$。$E(X^2)$可以通过$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$计算，即$E(X^2)=\frac{(b-a)^2}{12}+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$。所以选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，其期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。所以选项D错误。