题目
某车间生产滚珠,已知滚珠直径服从正态分布。今从一批产品里随机取出9个, 测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的 方差为0.062,试找出滚珠直径均值的 置信度为0.95的置信区间(%.975 =1.96)
某车间生产滚珠,已知滚珠直径服从正态分布。今从一批产品里随机取出9个, 测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的 方差为0.062,试找出滚珠直径均值的 置信度为0.95的置信区间(%.975 =1.96)
题目解答
答案
解:由于已知CT 2,故选取样本函数U = X _ 4〜N (01)滚珠直径均值的置信度为 0.95的置信区间为°7厂 ,n|X -#0 975 , X + 卩0.975 二7 [由已知'X =15.1,坊=0.06, n = 9,卩0.975 =1 .96.于是可得_ . . n . . nX —卩0.975 芈=15.1 —1.96006 =15.0608 X+#0.975 2 =15.1 +1.96攀=15.1392Un J9 in < 9因此,滚珠直径均值的置信度为 0.95的置信区间为〔15.0608,15.1392]
解析
步骤 1：确定样本均值和方差
已知样本均值 \( \bar{X} = 15.1 \) mm，样本方差 \( \sigma^2 = 0.062 \)，样本容量 \( n = 9 \)。
步骤 2：确定置信度和临界值
置信度为 0.95，对应的临界值 \( z_{0.975} = 1.96 \)。
步骤 3：计算置信区间
根据正态分布的性质，样本均值的置信区间为：
\[ \bar{X} \pm z_{0.975} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
代入已知值：
\[ 15.1 \pm 1.96 \cdot \frac{\sqrt{0.062}}{\sqrt{9}} \]
\[ 15.1 \pm 1.96 \cdot \frac{0.249}{3} \]
\[ 15.1 \pm 1.96 \cdot 0.083 \]
\[ 15.1 \pm 0.163 \]
步骤 4：确定置信区间的上下限
\[ 15.1 - 0.163 = 14.937 \]
\[ 15.1 + 0.163 = 15.263 \]
已知样本均值 \( \bar{X} = 15.1 \) mm，样本方差 \( \sigma^2 = 0.062 \)，样本容量 \( n = 9 \)。
步骤 2：确定置信度和临界值
置信度为 0.95，对应的临界值 \( z_{0.975} = 1.96 \)。
步骤 3：计算置信区间
根据正态分布的性质，样本均值的置信区间为：
\[ \bar{X} \pm z_{0.975} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
代入已知值：
\[ 15.1 \pm 1.96 \cdot \frac{\sqrt{0.062}}{\sqrt{9}} \]
\[ 15.1 \pm 1.96 \cdot \frac{0.249}{3} \]
\[ 15.1 \pm 1.96 \cdot 0.083 \]
\[ 15.1 \pm 0.163 \]
步骤 4：确定置信区间的上下限
\[ 15.1 - 0.163 = 14.937 \]
\[ 15.1 + 0.163 = 15.263 \]