题目

19、设X为随机变量，E(X)存在，则错误的结果是（）(4分) squareA.E[E(E(X))]=E(X) squareB.E[E(E(X))]=0 squareC.E[E(E(X))]=E(X^3) squareD.E[E(E(X))]=(E(X))^3

19、设X为随机变量，E(X)存在，则错误的结果是（）(4分) $\square$
A.$E[E(E(X))]=E(X)$ $\square$
B.$E[E(E(X))]=0$ $\square$
C.$E[E(E(X))]=E(X^{3})$ $\square$
D.$E[E(E(X))]=(E(X))^{3}$

题目解答

答案

设 $E(X) = \mu$，则 $E[E(E(X))] = E(\mu) = \mu = E(X)$。选项分析： - **A**：$E[E(E(X))]=E(X)$，正确。 - **B**：$E[E(E(X))]=0$，错误（$\mu$ 不一定为0）。 - **C**：$E[E(E(X))]=E(X^3)$，错误（$\mu$ 不一定等于 $E(X^3)$）。 - **D**：$E[E(E(X))]=(E(X))^3$，错误（$\mu$ 不一定等于 $\mu^3$）。 **答案：** \[ \boxed{B, C, D} \] **解析：** 选项B、C、D均不满足对任意随机变量均成立的条件，故均为错误结果。 **答案：** \[ \boxed{B, C, D} \]

解析

考查要点：本题主要考查对期望值的性质的理解，特别是期望的线性性质和嵌套期望的计算。

解题核心思路：

期望的常数性质：若随机变量的期望存在，常数的期望仍为该常数。
嵌套期望的化简：通过逐层计算嵌套的期望，最终化简为原始期望值。
排除法验证选项：结合期望的基本性质，逐一分析选项是否恒成立。

破题关键点：

设 $E(X) = \mu$，则 $E(E(X)) = E(\mu) = \mu$，进一步 $E(E(E(X))) = E(\mu) = \mu = E(X)$。
选项中若出现与 $\mu$ 无关的表达式（如 $E(X^3)$ 或 $\mu^3$），需判断其是否必然等于 $\mu$。

设 $E(X) = \mu$，则：

计算嵌套期望：
- 第一层：$E(X) = \mu$（常数）。
- 第二层：$E(E(X)) = E(\mu) = \mu$（常数的期望仍为自身）。
- 第三层：$E(E(E(X))) = E(\mu) = \mu = E(X)$。
选项分析：
- A：$E[E(E(X))] = E(X)$，正确（符合计算结果）。
- B：$E[E(E(X))] = 0$，错误（$\mu$ 不一定为0）。
- C：$E[E(E(X))] = E(X^3)$，错误（$\mu$ 与 $E(X^3)$ 无必然关系）。
- D：$E[E(E(X))] = (E(X))^3$，错误（$\mu$ 不一定等于 $\mu^3$）。