题目
（单选题，2分）已知总体X的概率密度为f(x;theta)=}theta x^theta-1,&0<1;0,&(其它).其中theta是未知参数，且theta>0.参数theta的极大似然估计量是（）.A (1)/(sum_(i=1)^nln X_{i)}B (n)/(sum_(i=1)^nln X_{i)}C (-1)/(sum_(i=1)^nln X_{i)}D
（单选题，2分）已知总体X的概率密度为
$f(x;\theta)=\begin{cases}\theta x^{\theta-1},&0<1;\\0,&\text{其它}.\end{cases}$其中$\theta$是未知参数，且$\theta>0$.参数$\theta$的极大似然估计量是（）.
A $\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i}}$
B $\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i}}$
C $\frac{-1}{\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i}}$
D
题目解答
答案
设样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta X_i^{\theta-1} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{\theta-1}.
$$
取对数得：
$$
\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln X_i.
$$
对 $\theta$ 求导并令导数为零：
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0.
$$
解得：
$$
\theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}.
$$
**答案：** $\boxed{D}$
解析
考查要点：本题主要考查极大似然估计的求解方法，涉及概率密度函数、似然函数的构造、对数似然函数的求导及极值求解。
解题核心思路：
- 构造似然函数：将样本独立观测值的概率密度相乘，得到关于参数θ的函数。
- 取对数简化计算：对似然函数取自然对数，转化为对数似然函数。
- 求导找极值：对θ求导并令导数为零，解方程得到θ的估计值。
- 验证合理性：确保估计值满足参数的约束条件（如θ>0）。
破题关键点：
- 正确写出似然函数：注意每个样本的概率密度形式。
- 处理乘积的对数转换：将乘积转化为求和，简化求导过程。
- 符号处理：样本取值在(0,1)时，$\ln X_i$为负数，需注意最终结果的符号。
构造似然函数
样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$独立同分布，似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \theta X_i^{\theta-1} \right) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{\theta-1}.$
取对数似然函数
对似然函数取自然对数：
$\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta - 1) \sum_{i=1}^n \ln X_i.$
求导并解方程
对θ求导并令导数为零：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0.$
解得：
$\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}.$
验证合理性
由于$0 < X_i < 1$，$\ln X_i < 0$，故$\sum_{i=1}^n \ln X_i < 0$，因此$\hat{\theta} > 0$，符合θ的约束条件。