设X1,X2,X3是来自总体X1,X2,X3的一个样本,下面给出的四个统计量都是总体均值X1,X2,X3的无偏估计量,则它们中最有效的统计量为( )A. X1,X2,X3 ; B. X1,X2,X3; C. X1,X2,X3 ; D. X1,X2,X3.

考查要点：本题考察无偏估计量的有效性比较，核心在于理解方差最小的无偏估计量是最有效的。对于正态总体的线性无偏估计量，其方差由权重系数的平方和决定。

解题思路：

1. 确认无偏性：所有选项均为无偏估计量（题目已说明）。
2. 计算方差：每个估计量的方差为 $\text{Var}(\hat{\mu}) = \sigma^2 \cdot \sum w_i^2$，其中 $w_i$ 是权重系数。
3. 比较平方和：权重系数的平方和越小，方差越小，估计量越有效。

破题关键：直接比较各选项权重系数的平方和，最小者即为最有效。

选项分析

选项B：$\hat{\mu}_2 = \dfrac{1}{2}X_1 + \dfrac{1}{3}X_2 + \dfrac{1}{6}X_3$

• 权重系数：$\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{6}$
• 平方和：
  $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{9 + 4 + 1}{36} = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18} \approx 0.3889$

选项C：$\hat{\mu}_3 = \overline{X} = \dfrac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)$

• 权重系数：$\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}$
• 平方和：
  $3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} \approx 0.3333$

选项D：$\hat{\mu}_4 = \dfrac{2}{5}X_1 + \dfrac{3}{5}X_3$

• 权重系数：$\dfrac{2}{5}, 0, \dfrac{3}{5}$
• 平方和：
  $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 + 0 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{25} = \dfrac{13}{25} = 0.52$

选项A（未明确给出）

题目中选项A的描述不完整，但根据答案推断其平方和必然大于选项C。

结论：选项C的平方和最小，因此其方差最小，是最有效的估计量。