2.假设新学期伊始,有4000名大一新生参加数学类公共基础课程选课,其中有500名学生只选-|||-修了一门课程,1000名学生选修了2门,2000名学生选修了3门.500名学生选修了4门.设X为学生-|||-选修课程的门数,求X的分布律和分布函数.

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律和分布函数的求解方法。

解题核心思路：

1. 分布律：根据题目给出的不同选课人数，计算每个取值对应的概率，即频数除以总数。
2. 分布函数：根据分布律，通过累加概率得到不同区间的概率值，注意分段点的取值范围。

破题关键点：

• 明确随机变量的可能取值：X的取值为1, 2, 3, 4。
• 正确计算概率：每个取值的概率为对应人数除以总人数（4000）。
• 分段点的处理：分布函数在每个分段点处取左闭右开区间，且最终当x足够大时概率为1。

分布律的求解

1. 确定可能取值：X的取值为1, 2, 3, 4。
2. 计算概率：
   • $P(X=1) = \dfrac{500}{4000} = 0.125$
   • $P(X=2) = \dfrac{1000}{4000} = 0.25$
   • $P(X=3) = \dfrac{2000}{4000} = 0.5$
   • $P(X=4) = \dfrac{500}{4000} = 0.125$

分布函数的求解

分布函数$F(x)$定义为$F(x) = P(X \leq x)$，分段讨论：

1. 当$x < 1$时：无取值满足，$F(x) = 0$。
2. 当$1 \leq x < 2$时：仅包含$X=1$，$F(x) = 0.125$。
3. 当$2 \leq x < 3$时：包含$X=1$和$X=2$，$F(x) = 0.125 + 0.25 = 0.375$。
4. 当$3 \leq x < 4$时：包含$X=1,2,3$，$F(x) = 0.375 + 0.5 = 0.875$。
5. 当$x \geq 4$时：包含所有取值，$F(x) = 1$。