2.假设新学期伊始,有4000名大一新生参加数学类公共基础课程选课,其中有500名学生只选-|||-修了一门课程,1000名学生选修了2门,2000名学生选修了3门.500名学生选修了4门.设X为学生-|||-选修课程的门数,求X的分布律和分布函数.

步骤 1：确定随机变量X的取值
根据题目描述，随机变量X的取值为1, 2, 3, 4，分别代表选修一门、两门、三门和四门课程的学生人数。

步骤 2：计算每个取值的概率
- $P(X=1)$：只选修一门课程的学生人数占总人数的比例，即$P(X=1)=\dfrac{500}{4000}=0.125$。
- $P(X=2)$：选修两门课程的学生人数占总人数的比例，即$P(X=2)=\dfrac{1000}{4000}=0.25$。
- $P(X=3)$：选修三门课程的学生人数占总人数的比例，即$P(X=3)=\dfrac{2000}{4000}=0.5$。
- $P(X=4)$：选修四门课程的学生人数占总人数的比例，即$P(X=4)=\dfrac{500}{4000}=0.125$。

步骤 3：确定分布律
根据步骤2计算出的概率，可以得到随机变量X的分布律如下：
X 1 2 3 4
概率 0.125 0.25 0.5 0.125

步骤 4：确定分布函数
分布函数$F(x)$定义为$F(x)=P(X\leq x)$，根据分布律，可以得到分布函数$F(x)$的分段函数形式：
- 当$x<1$时，$F(x)=0$。
- 当$1\leq x<2$时，$F(x)=P(X=1)=0.125$。
- 当$2\leq x<3$时，$F(x)=P(X=1)+P(X=2)=0.125+0.25=0.375$。
- 当$3\leq x<4$时，$F(x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.125+0.25+0.5=0.875$。
- 当$x\geq 4$时，$F(x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.125+0.25+0.5+0.125=1$。