例-2内径为15mm,外径为19mm的钢管,λ1=20W/m.℃),其外包扎一层厚为30mmλ2=0.2W/(m.℃)的保温材料。若钢管内表面温度为580℃,保温层外表面温度为80℃,试求每米管长的热损失以及保温层中的温度分布

考查要点：本题主要考查多层圆筒壁稳态导热的热损失计算及温度分布的求解方法。

解题核心思路：

1. 热损失计算：利用多层圆筒壁导热公式，将各层热阻叠加，通过总温度差求出总传热量。
2. 温度分布推导：根据圆筒壁一维稳态导热方程，结合边界条件积分求解温度沿半径的变化。

破题关键点：

• 单位统一：将尺寸单位转换为米，确保计算一致性。
• 热阻叠加：正确计算钢管层和保温层的热阻，并求和。
• 温度分布公式：通过导热微分方程积分，结合边界条件确定积分常数。

1. 热损失计算

确定各层半径

• 钢管内半径：$r_1 = \frac{15}{2} = 0.0075 \, \text{m}$
• 钢管外半径：$r_2 = \frac{19}{2} = 0.0095 \, \text{m}$
• 保温层外半径：$r_3 = r_2 + 30 = 0.0095 + 0.03 = 0.0395 \, \text{m}$

计算各层热阻

• 钢管层热阻：
  $R_1 = \frac{\ln \frac{r_2}{r_1}}{\lambda_1} = \frac{\ln \frac{0.0095}{0.0075}}{20} \approx \frac{0.237}{20} = 0.01185 \, \text{m·K/W}$
• 保温层热阻：
  $R_2 = \frac{\ln \frac{r_3}{r_2}}{\lambda_2} = \frac{\ln \frac{0.0395}{0.0095}}{0.2} \approx \frac{1.425}{0.2} = 7.125 \, \text{m·K/W}$

总热阻与热损失

• 总热阻：
  $R_{\text{总}} = R_1 + R_2 = 0.01185 + 7.125 = 7.13685 \, \text{m·K/W}$
• 热损失：
  $Q = \frac{2\pi L (t_1 - t_3)}{R_{\text{总}}} = \frac{2\pi \cdot 1 \cdot (580 - 80)}{7.13685} \approx 440 \, \text{W/m}$

2. 保温层温度分布

导热微分方程积分

在保温层内，温度分布满足：
$\frac{t_2 - t}{\ln \frac{r}{r_2}} = \frac{t_2 - t_3}{\ln \frac{r_3}{r_2}}$
解得：
$t(r) = t_2 - \frac{t_2 - t_3}{\ln \frac{r_3}{r_2}} \ln \frac{r}{r_2}$

代入边界条件

• 保温层内表面温度：
  $t_2 = t_1 - \frac{R_1}{R_{\text{总}}} (t_1 - t_3) \approx 580 - \frac{0.01185}{7.13685} \cdot 500 \approx 579.21 \, \text{℃}$
• 温度分布表达式：
  $t(r) = 579.21 - 350.32 \ln \frac{r}{0.0095}$