题目
1.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的分布列;(2)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.
1.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
(1)写出X的分布列;
(2)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.
题目解答
答案
(1)根据题意可知:
X服从的二项分布
则
(2)根据第(1)题可知,X服从二项分布,
根据二项分布的数学期望和方差的定义,即
利用棣莫弗-拉普拉斯定理,有
根据分布函数的性质,上式即为
其中,因为
则为
解析
步骤 1:写出X的分布列
根据题意,X服从二项分布,参数为n=100和p=0.2。因此,X的分布列为:
$P(X=k)={C}_{100}^{k}{0.2}^{k}{0.8}^{100-k}$,其中k=0,1,2,...,100。
步骤 2:求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值
根据二项分布的数学期望和方差的定义,有:
$E(X)=np=100\times0.2=20$,
$D(X)=np(1-p)=100\times0.2\times0.8=16$。
利用棣莫弗-拉普拉斯定理,有:
$P\{14\leqslant X\leqslant 30\}=P\{\dfrac{14-20}{4}\leqslant \dfrac{X-20}{4}\leqslant \dfrac{30-20}{4}\}$
$=P\{-1.5\leqslant \dfrac{X-20}{4}\leqslant 2.5\}$
$=\Phi(2.5)-\Phi(-1.5)$
其中,$\Phi(x)$表示标准正态分布的分布函数。因为$\Phi(-1.5)=1-\Phi(1.5)$,则有:
$P\{14\leqslant X\leqslant 30\}=\Phi(2.5)+\Phi(1.5)-1$
$=0.994+0.933-1$
$=0.927$
根据题意,X服从二项分布,参数为n=100和p=0.2。因此,X的分布列为:
$P(X=k)={C}_{100}^{k}{0.2}^{k}{0.8}^{100-k}$,其中k=0,1,2,...,100。
步骤 2:求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值
根据二项分布的数学期望和方差的定义,有:
$E(X)=np=100\times0.2=20$,
$D(X)=np(1-p)=100\times0.2\times0.8=16$。
利用棣莫弗-拉普拉斯定理,有:
$P\{14\leqslant X\leqslant 30\}=P\{\dfrac{14-20}{4}\leqslant \dfrac{X-20}{4}\leqslant \dfrac{30-20}{4}\}$
$=P\{-1.5\leqslant \dfrac{X-20}{4}\leqslant 2.5\}$
$=\Phi(2.5)-\Phi(-1.5)$
其中,$\Phi(x)$表示标准正态分布的分布函数。因为$\Phi(-1.5)=1-\Phi(1.5)$,则有:
$P\{14\leqslant X\leqslant 30\}=\Phi(2.5)+\Phi(1.5)-1$
$=0.994+0.933-1$
$=0.927$