题目
某公司有 100 名员工参加一种资格证书考试，按以往的经验，该考试通过率为 0.8 .则用中心极限定理近似计算这 100 名员工中至少有 76 人通过考试的概率为( A ) 0)垂( B ) 0)垂( C ) 0)垂( D ) 0)垂
某公司有 100 名员工参加一种资格证书考试，按以往的经验，该考试通过率为 0.8 .则用中心极限定理近似计算这 100 名员工中至少有 76 人通过考试的概率为
( A ) 
( B ) 
( C ) 
( D ) 
题目解答
答案
由题设，这 100 名员工中通过考试的人数：
.则
∴由二项分布的数学期望和方差的计算公式
可得：
由中心极限定理可得：
当
充分大时，有
化简得：
.
这 100 名员工中至少有 76 人通过考试的概率：
（标准正态分布函数性质
）
故选B.
解析
步骤 1：定义随机变量
设$X_i$表示第$i$名员工通过考试的随机变量，其中$X_i=1$表示通过，$X_i=0$表示未通过。则$X_i$服从二项分布$B(1,0.8)$，即$P(X_i=1)=0.8$，$P(X_i=0)=0.2$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，$X_i$的期望$E(X_i)=0.8$，方差$Var(X_i)=0.8\times0.2=0.16$。
步骤 3：应用中心极限定理
设$X=\sum_{i=1}^{100}X_i$表示100名员工中通过考试的人数，则$X$服从二项分布$B(100,0.8)$。根据中心极限定理，当$n$充分大时，$X$近似服从正态分布$N(100\times0.8,100\times0.16)$，即$N(80,16)$。
步骤 4：计算概率
要计算至少有76人通过考试的概率，即$P(X\geq76)$。根据正态分布的性质，可以将$X$标准化为$Z=\frac{X-80}{4}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。因此，$P(X\geq76)=P(Z\geq\frac{76-80}{4})=P(Z\geq-1)=1-P(Z<-1)=1-\Phi(-1)=\Phi(1)$。
设$X_i$表示第$i$名员工通过考试的随机变量，其中$X_i=1$表示通过，$X_i=0$表示未通过。则$X_i$服从二项分布$B(1,0.8)$，即$P(X_i=1)=0.8$，$P(X_i=0)=0.2$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，$X_i$的期望$E(X_i)=0.8$，方差$Var(X_i)=0.8\times0.2=0.16$。
步骤 3：应用中心极限定理
设$X=\sum_{i=1}^{100}X_i$表示100名员工中通过考试的人数，则$X$服从二项分布$B(100,0.8)$。根据中心极限定理，当$n$充分大时，$X$近似服从正态分布$N(100\times0.8,100\times0.16)$，即$N(80,16)$。
步骤 4：计算概率
要计算至少有76人通过考试的概率，即$P(X\geq76)$。根据正态分布的性质，可以将$X$标准化为$Z=\frac{X-80}{4}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。因此，$P(X\geq76)=P(Z\geq\frac{76-80}{4})=P(Z\geq-1)=1-P(Z<-1)=1-\Phi(-1)=\Phi(1)$。