题目
14.设总体 sim N(0,1) ,随机抽取样本(X 1,X2,···,Xn),X为样本均值,S^2为样本-|||-方差,试指出 sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2-noverline (X) 与 dfrac (n{X)^2}({S)^2} 各服从什么分布,并写出此分布的自由度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 的分布
由于 $X_i \sim N(0,1)$，且相互独立，根据卡方分布的定义，$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2} \sim \chi^2(n)$。
步骤 2：确定 $\overline{X}$ 的分布
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_i$，由于 $X_i$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。进一步，$\sqrt{n}\overline{X} \sim N(0,1)$，因此 $(\sqrt{n}\overline{X})^2 = n\overline{X}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定 $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline{X}^2$ 的分布
根据样本方差的定义，$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline{X}^2 = \sum _{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 = (n-1)S^2$，其中 $S^2$ 是样本方差。由于 $X_i$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 4：确定 $\frac{n\overline{X}^2}{S^2}$ 的分布
根据步骤 2 和步骤 3，$\frac{n\overline{X}^2}{S^2} = \frac{\chi^2(1)}{\chi^2(n-1)/(n-1)}$，根据F分布的定义，$\frac{n\overline{X}^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$。
由于 $X_i \sim N(0,1)$，且相互独立，根据卡方分布的定义，$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2} \sim \chi^2(n)$。
步骤 2：确定 $\overline{X}$ 的分布
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_i$，由于 $X_i$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。进一步，$\sqrt{n}\overline{X} \sim N(0,1)$，因此 $(\sqrt{n}\overline{X})^2 = n\overline{X}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定 $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline{X}^2$ 的分布
根据样本方差的定义，$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline{X}^2 = \sum _{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 = (n-1)S^2$，其中 $S^2$ 是样本方差。由于 $X_i$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 4：确定 $\frac{n\overline{X}^2}{S^2}$ 的分布
根据步骤 2 和步骤 3，$\frac{n\overline{X}^2}{S^2} = \frac{\chi^2(1)}{\chi^2(n-1)/(n-1)}$，根据F分布的定义，$\frac{n\overline{X}^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$。