题目
17.已知某种零件的尺寸服从正态分布,现从一批零件中随机抽取16只,测得-|||-其长度(厘米)如下:-|||-15.1 14.5 14.8 14.615.2 14.8 14.9 14.6-|||-14.8 15.1 15.3 14.7 15.0 15.2 15.1 14.7-|||-(1)若要求该种零件的标准长度应为15毫米,检验这批零件是否符合标准要-|||-求。( a=0.05 )-|||-(2)若已知方差为0.09,问该批零件是否符合标准要求。( t0.025(15)=2.131
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算样本均值 $\overline{X}$。
$$
\overline{X} = \frac{15.1 + 14.5 + 14.8 + 14.6 + 15.2 + 14.8 + 14.9 + 14.6 + 14.8 + 15.1 + 15.3 + 14.7 + 15.0 + 15.2 + 15.1 + 14.7}{16} = 14.9
$$
步骤 2：计算样本标准差
根据题目给出的数据，计算样本标准差 $s$。
$$
s = \sqrt{\frac{(15.1-14.9)^2 + (14.5-14.9)^2 + \cdots + (14.7-14.9)^2}{16-1}} = 0.25
$$
步骤 3：构造检验统计量
在小样本及总体标准差未知的条件下，用样本标准差代替总体标准差，构造检验统计量为：
$$
t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
$$
步骤 4：计算检验统计量的值
代入数据得：
$$
|t| = \left|\frac{14.9 - 15}{0.25 / \sqrt{16}}\right| = 1.6
$$
步骤 5：比较检验统计量的值与临界值
由于 $|t| = 1.6 < t_{0.025}(15) = 2.131$，因此不拒绝原假设，即认为这批零件符合标准要求。
步骤 6：构造检验统计量（方差已知）
若方差已知，检验统计量为：
$$
z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
步骤 7：计算检验统计量的值（方差已知）
代入数据得：
$$
|z| = \left|\frac{14.9 - 15}{0.3 / \sqrt{16}}\right| = 1.33
$$
步骤 8：比较检验统计量的值与临界值（方差已知）
由于 $|z| = 1.33 < z_{0.025} = 1.96$，因此不拒绝原假设，即认为这批零件符合标准要求。
根据题目给出的数据，计算样本均值 $\overline{X}$。
$$
\overline{X} = \frac{15.1 + 14.5 + 14.8 + 14.6 + 15.2 + 14.8 + 14.9 + 14.6 + 14.8 + 15.1 + 15.3 + 14.7 + 15.0 + 15.2 + 15.1 + 14.7}{16} = 14.9
$$
步骤 2：计算样本标准差
根据题目给出的数据，计算样本标准差 $s$。
$$
s = \sqrt{\frac{(15.1-14.9)^2 + (14.5-14.9)^2 + \cdots + (14.7-14.9)^2}{16-1}} = 0.25
$$
步骤 3：构造检验统计量
在小样本及总体标准差未知的条件下，用样本标准差代替总体标准差，构造检验统计量为：
$$
t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
$$
步骤 4：计算检验统计量的值
代入数据得：
$$
|t| = \left|\frac{14.9 - 15}{0.25 / \sqrt{16}}\right| = 1.6
$$
步骤 5：比较检验统计量的值与临界值
由于 $|t| = 1.6 < t_{0.025}(15) = 2.131$，因此不拒绝原假设，即认为这批零件符合标准要求。
步骤 6：构造检验统计量（方差已知）
若方差已知，检验统计量为：
$$
z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
步骤 7：计算检验统计量的值（方差已知）
代入数据得：
$$
|z| = \left|\frac{14.9 - 15}{0.3 / \sqrt{16}}\right| = 1.33
$$
步骤 8：比较检验统计量的值与临界值（方差已知）
由于 $|z| = 1.33 < z_{0.025} = 1.96$，因此不拒绝原假设，即认为这批零件符合标准要求。