题目
7.设总体 sim (X)^2(n) ,X1,X2,···,X10是来自X的样本,求E(X ),D(X),-|||-((S)^2) 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定总体的期望和方差
由于总体 $X\sim {X}^{2}(n)$，即 $X$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，根据卡方分布的性质，我们有：
- $E(X) = n$
- $D(X) = 2n$
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i$，其中 $X_i$ 是来自总体 $X$ 的样本。
- $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i\right) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}E(X_i) = \frac{1}{10}\times 10n = n$
- $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i\right) = \frac{1}{10^2}\sum_{i=1}^{10}D(X_i) = \frac{1}{100}\times 10\times 2n = \frac{2n}{10} = \frac{n}{5}$
步骤 3：计算样本方差的期望
样本方差 $S^2 = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i - \overline{X})^2$，根据样本方差的性质，我们有：
- $E(S^2) = D(X) = 2n$
由于总体 $X\sim {X}^{2}(n)$，即 $X$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，根据卡方分布的性质，我们有：
- $E(X) = n$
- $D(X) = 2n$
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i$，其中 $X_i$ 是来自总体 $X$ 的样本。
- $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i\right) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}E(X_i) = \frac{1}{10}\times 10n = n$
- $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i\right) = \frac{1}{10^2}\sum_{i=1}^{10}D(X_i) = \frac{1}{100}\times 10\times 2n = \frac{2n}{10} = \frac{n}{5}$
步骤 3：计算样本方差的期望
样本方差 $S^2 = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i - \overline{X})^2$，根据样本方差的性质，我们有：
- $E(S^2) = D(X) = 2n$