题目
7.设随机变量 sim N((3.2)^circ ) ,求:-|||-(1) 2leqslant xlt 5 , |X||gt 2 :-|||-(2)c的值,使 Xgt c =P Xlt c . _
题目解答
答案
7.解:(1) $P\{ 2\leqslant x\lt 5\} =\varphi (\dfrac {5-3}{2})-\varphi (\dfrac {2-3}{2})=\varphi (1)-\varphi (-\dfrac {1}{2})$ $=\varphi (1)-[ 1-\varphi (\dfrac {1}{2})] =0.8413-(1-0.6915)=0.5328$ $P\{ |X|\gt 2\} =P\{ X\gt 2\} +P\{ X\lt -2\} $ $=1-\varphi (\dfrac {2-3}{2})+\varphi (\dfrac {-2-3}{2})=1-\varphi (-\dfrac {1}{2})+\varphi (-\dfrac {5}{2})$ $=1-[ 1-\varphi (\dfrac {1}{2})] +[ 1-\varphi (\dfrac {5}{2})] =\varphi (\dfrac {1}{2})+1-\varphi (\dfrac {5}{2})$ $=0.6915+1-0.9938=0.6977$. (2)由 $P\{ X\gt c\} =P\{ X\lt c\} $, 得 $\varphi (\dfrac {c-3}{2})=0.5$, 所以 $\dfrac {c-3}{2}=0$, 解得 $c=3$.
(1)0.5328,0.6977;(2)3.
(1)0.5328,0.6977;(2)3.
解析
步骤 1：计算 $P\{ 2\leqslant x\lt 5\}$
根据正态分布的性质，$P\{ 2\leqslant x\lt 5\}$ 可以通过标准正态分布函数 $\varphi$ 来计算。首先，将 $X$ 的值转换为标准正态分布的值，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。因此，$P\{ 2\leqslant x\lt 5\} = \varphi(\frac{5-3}{2}) - \varphi(\frac{2-3}{2})$。
步骤 2：计算 $P\{ |X|\gt 2\}$
$P\{ |X|\gt 2\}$ 可以分解为 $P\{ X\gt 2\} + P\{ X\lt -2\}$。同样地，将 $X$ 的值转换为标准正态分布的值，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。因此，$P\{ |X|\gt 2\} = 1 - \varphi(\frac{2-3}{2}) + \varphi(\frac{-2-3}{2})$。
步骤 3：求解 $c$ 的值
由 $P\{ X\gt c\} = P\{ X\lt c\}$，可以得出 $\varphi(\frac{c-3}{2}) = 0.5$。根据标准正态分布的性质，$\varphi(0) = 0.5$，因此 $\frac{c-3}{2} = 0$，解得 $c = 3$。
根据正态分布的性质，$P\{ 2\leqslant x\lt 5\}$ 可以通过标准正态分布函数 $\varphi$ 来计算。首先，将 $X$ 的值转换为标准正态分布的值，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。因此，$P\{ 2\leqslant x\lt 5\} = \varphi(\frac{5-3}{2}) - \varphi(\frac{2-3}{2})$。
步骤 2：计算 $P\{ |X|\gt 2\}$
$P\{ |X|\gt 2\}$ 可以分解为 $P\{ X\gt 2\} + P\{ X\lt -2\}$。同样地，将 $X$ 的值转换为标准正态分布的值，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。因此，$P\{ |X|\gt 2\} = 1 - \varphi(\frac{2-3}{2}) + \varphi(\frac{-2-3}{2})$。
步骤 3：求解 $c$ 的值
由 $P\{ X\gt c\} = P\{ X\lt c\}$，可以得出 $\varphi(\frac{c-3}{2}) = 0.5$。根据标准正态分布的性质，$\varphi(0) = 0.5$，因此 $\frac{c-3}{2} = 0$，解得 $c = 3$。