题目
2.设随机变量X服从两点分布,即 sim B(1,p), X1,X2,···,Xn是来自X的一个-|||-样本,求:(1)p的矩估计;(2)p的极大似然估计;(3)它们是否是p的无偏估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求p的矩估计
由于X服从两点分布，即$X\sim B(1,p)$，其期望$E(X)=p$。根据矩估计法，用样本均值$\overline{X}$来估计总体均值$E(X)$，因此p的矩估计为$\hat{p}=\overline{X}$。
步骤 2：求p的极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。对于两点分布，似然函数为$L(p)=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$。对数似然函数为$l(p)=\sum_{i=1}^{n}x_i\ln p+(1-x_i)\ln(1-p)$。对$l(p)$求导并令导数为0，得到$\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\overline{X}$。
步骤 3：判断是否为无偏估计
无偏估计是指估计量的期望等于被估计参数。对于矩估计和极大似然估计，$\hat{p}=\overline{X}$，其期望$E(\hat{p})=E(\overline{X})=E(X)=p$，因此它们都是p的无偏估计。
由于X服从两点分布，即$X\sim B(1,p)$，其期望$E(X)=p$。根据矩估计法，用样本均值$\overline{X}$来估计总体均值$E(X)$，因此p的矩估计为$\hat{p}=\overline{X}$。
步骤 2：求p的极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。对于两点分布，似然函数为$L(p)=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$。对数似然函数为$l(p)=\sum_{i=1}^{n}x_i\ln p+(1-x_i)\ln(1-p)$。对$l(p)$求导并令导数为0，得到$\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\overline{X}$。
步骤 3：判断是否为无偏估计
无偏估计是指估计量的期望等于被估计参数。对于矩估计和极大似然估计，$\hat{p}=\overline{X}$，其期望$E(\hat{p})=E(\overline{X})=E(X)=p$，因此它们都是p的无偏估计。