某人参加一次选拔考试共有 5 门测试若 3 门合格即视为通过设随机 变量 X 表示合格的测试数 另外假设它通过每门测试的概率都为 0.6 而且相互之间没有影响则求 ( I ) 随机 变量 X 的概率分布 ; ( II ) 此人通过选拔的 概率 ; ( III ) 此人通过选拔时有 3 门测试合格的概率 ;

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算、累积概率求和以及条件概率的应用。

解题思路：

1. 识别二项分布：题目中每门测试相互独立，合格概率固定，因此合格次数$X$服从二项分布$B(n=5, p=0.6)$。
2. 概率分布计算：直接应用二项分布公式$P(X=k)=C_{5}^{k} \cdot 0.6^{k} \cdot 0.4^{5-k}$。
3. 通过概率求和：通过选拔需$X \geq 3$，需将$P(X=3)$、$P(X=4)$、$P(X=5)$相加。
4. 条件概率公式：在通过选拔的条件下，恰好3门合格的概率为$\frac{P(X=3)}{P(X \geq 3)}$。

(I) 随机变量$X$的概率分布

根据二项分布公式：
$P(X=k) = C_{5}^{k} \cdot 0.6^{k} \cdot 0.4^{5-k} \quad (k=0,1,2,3,4,5)$

计算各取值概率

• $X=0$：所有测试均不合格
  $P(X=0) = C_{5}^{0} \cdot 0.6^{0} \cdot 0.4^{5} = 1 \cdot 1 \cdot 0.4^{5} = \frac{32}{3125}$

• $X=1$：恰好1门合格
  $P(X=1) = C_{5}^{1} \cdot 0.6^{1} \cdot 0.4^{4} = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.0256 = \frac{48}{625}$

• $X=2$：恰好2门合格
  $P(X=2) = C_{5}^{2} \cdot 0.6^{2} \cdot 0.4^{3} = 10 \cdot 0.36 \cdot 0.064 = \frac{144}{625}$

• $X=3$：恰好3门合格
  $P(X=3) = C_{5}^{3} \cdot 0.6^{3} \cdot 0.4^{2} = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = \frac{216}{625}$

• $X=4$：恰好4门合格
  $P(X=4) = C_{5}^{4} \cdot 0.6^{4} \cdot 0.4^{1} = 5 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = \frac{162}{625}$

• $X=5$：全部合格
  $P(X=5) = C_{5}^{5} \cdot 0.6^{5} \cdot 0.4^{0} = 1 \cdot 0.07776 \cdot 1 = \frac{243}{3125}$

(II) 通过选拔的概率

通过选拔需满足$X \geq 3$，即：
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$

计算总和

$\begin{aligned}P(X \geq 3) &= \frac{216}{625} + \frac{162}{625} + \frac{243}{3125} \\&= \frac{216 \times 5 + 162 \times 5 + 243}{3125} \\&= \frac{1080 + 810 + 243}{3125} \\&= \frac{2133}{3125}\end{aligned}$

(III) 通过时恰好3门合格的概率

根据条件概率公式：
$P(X=3 \mid X \geq 3) = \frac{P(X=3)}{P(X \geq 3)} = \frac{\frac{216}{625}}{\frac{2133}{3125}} = \frac{216 \times 5}{2133} = \frac{1080}{2133}$